Exercícios Resolvidos de Leis de Kepler

Um sistema binário é composto por duas estrelas de massas M iguais, separadas por uma distância D, descrevendo órbitas circulares em torno do centro de massa O do sistema, conforme a figura abaixo.

a Determine o período T das órbitas em função de G, M, e D e verifique a terceira Lei de Kepler.

( b ) Obtenha a energia total do sistema em termos de G, M, e D.

Passo 1

Como as estrelas estão em um movimento circular uniforme, temos que a força gravitacional é igual a força centrípeta.

Vamos escrever a força centrípeta em função do período, e para isso vamos substituir a velocidade pela velocidade angular e escrever a velocidade angular em função do período. Da seguinte forma:

F c p = M V 2 R = M ω 2 R = M 2 π T 2 R

Igualando as forças temos:

F g = F c p

G M M D 2 = M 2 π T 2 . D 2

T 2 = 2 π 2 . D 3 G M

Antes de passar a raiz quadrada dos dois lados, vamos verificar a 3ª Lei de Kepler. Lei das proporções que diz que

T 2 ∝ R 3 ∝ M - 1

Bem a lei nesse caso é confirmada, encontramos que T 2 é proporcional ao cubo da distância D e inversamente proporcional a massa M .

Agora sim, vamos passar a raiz dos dois lados e encontrar T

T = 2 π 2 . D 3 G M

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a energia total do sistema vai ser a soma da energia de interação entre as estrelas somada com a energia cinética de cada uma

E = U + K 1 + K 2

A energia de interação entre as estrelas vai ser (lembrando que a distância entre as duas é D )

U = - G M M D = - G M 2 D

Passo 3

Já as energias cinéticas das estrelas vão ser iguais

K 1 = K 2 = M v 2 2

A velocidade de cada estrela vai ser o comprimento da trajetória dividido pelo período da órbita

v = π D T

Como já calculamos o período essa conta fica mole!

v = π D T = π D G M 2 π 2 D 3 = π D 1 π D   G M 2 D

v = G M 2 D

Voltando pra nossa energia cinética

K 1 = K 2 = M v 2 2 = M 2 G M 2 D = G M 2 4 D

Passo 4

Assim a nossa energia total será

E = U + K 1 + K 2 = - G M 2 D + G M 2 4 D + G M 2 4 D

E = - G M 2 2 D

Resposta

A)

T = 2 π 2 . D 3 G M

B) E = - G M 2 2 D

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas