Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2012.2, Questão 3

Classifique as afirmações em V(verdadeiro) ou F(falso). Justifique!

a) Seja y t = ( y 1 t , y 2 t ) uma solução não nula do sistema Y ' t = A Y ( t ) onde A   é uma matriz real 2 x 2 . Se lim t y 1 t = então lim t y 2 t = .

b) Toda matriz 2 x 2 possui no mínimo uma raiz quadrada.

c) A curva y 4 - x 2 = 0 contém a solução de um sistema Y ' t = A Y ( t ) .

Passo 1

a) Suponha que

y t = e t e - t

Vamos então encontrar matriz A que satisfaz o sistema.

e t - e - t = a b c d e t e - t

e t - e - t = a e t + b e - t c e t + d e - t

Então ficamos com

e t a - 1 + b e - t = 0 e 2 t a - 1 + b = 0

c e t + e - t d + 1 = 0 c e 2 t + d + 1 = 0

Logo

a = 1

b = 0

c = 0

d = - 1

Portanto a matriz A é

A = 1 0 0 - 1

Que é uma matriz real 2 x 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto mostramos que se y t = e t e - t

É uma solução do sistema então

lim t y 1 t = lim t e t =

E

lim t y 2 t = lim t e - t = 0

Portanto a letra (a) é FALSA!

Passo 3

b) Suponha que exista uma matriz A , tal que A = B 2 .

Portanto B seria a raiz quadrada de A .

Mas a relação A = B 2   implica que det A = det B 2 > 0 .

Logo, matrizes com determinante menor que zero não possuem raiz quadrada.

Portanto, a afirmativa da letra (b) é FALSA!

Passo 4

c)

Passo 5

Passo 5

Resposta

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