Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 214, exercício 11

Encontre a solução geral do sistema de equações dado.

X ' = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 X

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A , que ele já deu

A = 1 1 2 1 2 1 2 1 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

1 - λ 1 2 1 2 - λ 1 2 1 1 - λ = 0

1 - λ 2 - λ 1 - λ + 2 + 2 - 2 ∙ 2 2 - λ - 1 ∙ 1 1 - λ - 1 ∙ 1 1 - λ = 0

- λ 3 + 4 λ 2 - 5 λ + 2 + 4 - 8 + 4 λ - 1 + λ - 1 + λ = 0

- λ 3 + 4 λ 2 + λ - 4 = 0

Vamos começar a resolver essa parada

- λ 2 λ - 4 + λ - 4 = 0

λ - 4 - λ 2 + 1 = 0

Isso nos diz que

λ 1 = 4

Ou

- λ 2 + 1 = 0

λ 2 = 1

λ 3 = - 1

Agora que temos os autovalores vamos para os autovetores.

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

1 1 2 1 2 1 2 1 1 x 1 x 2 x 3 = 4 0 0 0 4 0 0 0 4 x 1 x 2 x 3

Vamos ter

x 1 + x 2 + 2 x 3 = 4 x 1

x 1 + 2 x 2 + x 3 = 4 x 2

2 x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 3

Da primeira equação temos que

x 2 + 2 x 3 = 3 x 1

Da segunda equação temos que

x 1 + x 3 = 2 x 2

Juntando essas duas equações vamos ter

x 2 + 2 x 3 = 3 2 x 2 - x 3

x 2 + 2 x 3 = 6 x 2 - 3 x 3

5 x 3 = 5 x 2

x 3 = x 2

Isso nos diz que

x 1 = 2 x 2 - x 3

x 1 = x 2

Então um dos autovetores vai ser

v 1 = x 1 x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1 1

Passo 4

Precisamos achar os outros autovetores. Primeiro vamos achar o segundo autovetor como normalmente fazemos.

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2 y 3

A v 2 = λ 2 I v 2

1 1 2 1 2 1 2 1 1 y 1 y 2 y 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 y 1 y 2 y 3

Vamos ter

y 1 + y 2 + 2 y 3 = y 1

y 1 + 2 y 2 + y 3 = y 2

2 y 1 + y 2 + y 3 = y 3

Da primeira equação temos que

y 2 + 2 y 3 = 0

y 2 = - 2 y 3

Da segunda equação temos que

y 1 + y 3 = - y 2

Isso nos diz que

y 1 + y 3 = - - 2 y 3

y 1 + y 3 = 2 y 3

y 1 = y 3

Então um dos autovetores vai ser

v 2 = y 1 - 2 y 1 y 1

Podemos tirar esse y 1

v 2 = 1 - 2 1

Passo 5

Precisamos achar o outro autovetor. Vamos achar o terceiro autovetor como normalmente fazemos.

Vamos fazer

v 3 = z 1 z 2 z 3

A v 3 = λ 3 I v 3

1 1 2 1 2 1 2 1 1 z 1 z 2 z 3 = - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 - 1 z 1 z 2 z 3

Vamos ter

z 1 + z 2 + 2 z 3 = - z 1

z 1 + 2 z 2 + z 3 = - z 2

2 z 1 + z 2 + z 3 = - z 3

Da primeira equação temos que

z 2 + 2 z 3 = - 2 z 1

Da segunda equação temos que

z 1 + z 3 = - 3 z 2

Juntando essas duas equações vamos ter

z 1 + z 3 = - 3 - 2 z 1 - 2 z 3

z 1 + z 3 = 6 z 1 + 6 z 3

- z 1 = z 3

z 1 = - z 3

Isso nos diz que

z 2 = - 2 z 3 - 2 z 1

z 2 = - 2 z 3 - 2 - z 3

z 2 = 0

Então um dos autovetores vai ser

v 3 = z 1 0 - z 1

Podemos tirar esse z 1

v 3 = 1 0 - 1

Passo 6

A solução vai ficar

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 2 e λ 2 t

x 3 = v 3 e λ 3 t

A solução vai ficar

x 1 = 1 1 1 e 4 t

x 2 = 1 - 2 1 e t

x 3 = 1 0 - 1 e - t

A solução geral é

X = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3

X = C 1 1 1 1 e 4 t + C 2 1 - 2 1 e t + C 3 1 0 - 1 e - t

Resposta

X = C 1 1 1 1 e 4 t + C 2 1 - 2 1 e t + C 3 1 0 - 1 e - t

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