Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

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Enunciado

Encontre a solução geral do sistema X ' = - 1 1 0 1 2 1 0 3 - 1 X .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu um sistema de EDO em forma matricial e pediu pra gente encontrar a solução dele. Mas como a gente faz isso? Bom, o nosso sistema tem essa cara:

X ' t = A X ( t )

E as soluções do sistema são dadas na forma:

X = C e λ t v

Onde λ é um autovalor associado a um autovetor v . Então, para achar a solução geral, nós precisamos encontrar os autovalores e autovetores da nossa matriz A .

Para encontrar os autovalores, fazemos:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Onde I é a matriz identidade. E para encontrar os autovetores, vamos resolver o sisteminha:

A - λ I v = 0

Vamos lá!

Passo 2

Encontrando os autovalores, temos:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

det ⁡ - 1 1 0 1 2 1 0 3 - 1 - λ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Calculando a matriz:

- 1 - λ 1 0 1 2 - λ 1 0 3 - 1 - λ = 0

Calculando o determinante da matriz, temos:

- 1 - λ 2 - λ - 1 - λ - - 1 - λ - 3 - 1 - λ = 0

Colocando - 1 - λ em evidência:

- 1 - λ 2 - λ - 1 - λ - 4 = 0

Então temos:

- 1 - λ = 0 → λ 1 = - 1

Ou então:

2 - λ - 1 - λ - 4 = 0

λ 2 - λ - 6 = 0

Encontrando as raízes da equação, temos nossos autovalores:

λ 2 = 3

λ 3 = - 2

Passo 3

Agora para cada autovalor, vamos resolver o sisteminha:

A - λ I v = 0

Para achar os autovetores v .

Começando com λ 1 = - 1 :

- 1 - ( - 1 ) 1 0 1 2 - ( - 1 ) 1 0 3 - 1 - ( - 1 ) x y z = 0 0 0

0 1 0 1 3 1 0 3 0 x y z = 0 0 0

Da primeira linha, temos:

y = 0

Pegando a segunda linha e substituindo o valor de y :

x + 3 y + z = 0

x = - z

Então, os autovetores associados ao autovalor - 1 são:

x ,   y ,   z = - z , 0 ,   z = z ( - 1 ,   0 ,   1 )

Em particular, temos o autovetor:

v 1 = ( - 1 ,   0 ,   1 )

Passo 4

Para λ 2 = 3 :

- 4 1 0 1 - 1 1 0 3 - 4 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz dos coeficientes, temos:

- 4 1 0 0 - 3 4 1 0 0 0 x y z = 0 0 0

Da segunda linha, temos:

- 3 4 y + z = 0

y = 4 3 z

Pegando a primeira linha e substituindo o valor de y :

- 4 x + y + 0 = 0

- 4 x + 4 3 z = 0

x = 1 3 z

Então, os autovetores associados ao autovalor 3 são:

x ,   y ,   z = z 1 3 , 4 3 ,   1 = z ( 1 ,   4 ,   3 )

Em particular, temos o autovetor:

v 2 = ( 1 ,   4 ,   3 )

Passo 5

Por último, para λ 3 = - 2 :

1 1 0 1 4 1 0 3 1 x y z = 0 0 0

Escalonando a matriz dos coeficientes, temos:

1 1 0 0 3 1 0 0 0 x y z = 0 0 0

Da segunda linha, temos:

3 y + z = 0

y = - 1 3 z

Pegando a primeira linha e substituindo o valor de y :

x + y + 0 = 0

x - 1 3 z = 0

x = 1 3 z

Então, os autovetores associados ao autovalor - 2 são:

x ,   y ,   z = z 1 3 , - 1 3 ,   1 = z ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Em particular, temos o autovetor:

v 3 = ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Passo 6

Pronto, agora é só montar as soluções. Sabemos que elas são da forma:

X = C e λ t v

Então, para os autovalores e autovetores encontrados, temos:

X 1 = C 1 e - t ( - 1 ,   0 ,   1 )

X 1 = C 2 e 3 t ( 1 ,   4 ,   3 )

X 1 = C 3 e - 2 t ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Mas repara que a questão pediu a solução geral. Então basta somar tudo:

X = C 1 e - t - 1 ,   0 ,   1 + C 2 e 3 t 1 ,   4 ,   3 + C 3 e - 2 t ( 1 ,   - 1 ,   3 )

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

X = C 1 e - t - 1 ,   0 ,   1 + C 2 e 3 t 1 ,   4 ,   3 + C 3 e - 2 t ( 1 ,   - 1 ,   3 )

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