Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

Resolva o sistema de equações lineares X ' = A X definido pela matriz constante A definida nos seguintes casos:

A = 3 3 - 1 3

Passo 1

Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:

det ⁡ A - λ I = 0

det ⁡ 3 - λ 3 - 1 3 - λ

Como a matriz é triangular, o determinante será o produto dos termos da diagonal principal:

det ⁡ A - λ I = 3 - λ 2 + 3 = 0

3 - λ 2 = - 3 ⟹ 3 - λ = ± 3 i

λ = 3 ∓ 3 i

Logo os autovalores são todos distintos e complexos (conjugados):

λ 1 = 3 - 3 i λ 2 = 3 + 3 i

Além disso, podemos escrever os autovalores na forma:

λ 12 = a ± b i

Com:

a = 3 b = 3

Agora, vamos encontrar os autovetores associados!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular v 1 associado a λ 1 = 1 . Para isso, temos:

A - I v 1 = 0

3 - 3 + 3 i 3 - 1 3 - 3 + 3 i v 11 v 12 = 0

Que nos leva ao sistema:

3 i v 11 + 3 v 12 = 0 - v 11 + 3 i v 12 = 0

A duas equações são linearmente dependentes. Basta multiplicar a segunda por 3 i :

3 i - v 11 + 3 i v 12 = 3 i 0

- 3 i v 11 + 3 i 3 i v 12 = 0

- 3 i v 11 - 3 v 12 = 0

Logo, uma componente depende da outra e a solução será:

v 12 = - 3 i 3 v 11

Com v 11 livre. Então escolhemos v 11 = 3 para simplificar com o denominador e temos o autovetor:

v 1 = 3 - 3 i

Repare o autovetor é muito parecido com o autovalor associado. A parte (a) real 3 aparece na primeira linha, enquanto a parte (b) imaginária - 3 aparece na segunda linha .

Agora vamos encontrar v 2 . Você pode tanto calcular da mesma maneira que fizemos antes ou então lembrar que, para autovalores complexos conjugados:

v 2 = v 1 -

Isso significa que se:

v 1 = a → + b → i

Então,

v 2 = a → - b → i

Ou seja, troca-se o sinal da parte complexa (só da parte complexa!). Chamamos v 2 e conjugado de v 1 e por isso que os autovetores são denominados autovetores conjugados. (Aqui também tem cultura! Não, pera...)

Seguindo essa linha, temos:

v 2 = 1 - 3 i 3 - = 1 0 + 0 - 3 i 3 - = 3 3 i

Beleza, agora temos todos os autovalores e autovetores e é só substituir para resolver o problema.

Passo 3

Agora vem uma diferença importante, não aparecerá somente a exponencial bonitinha, teremos também termos com seno e cosseno. De forma geral:

x 1 = e a t a → sen ⁡ b t + b → cos ⁡ b t

x 2 = e a t a → cos ⁡ b t - b → sen ⁡ b t

Em que a é a parte de real dos autovalores, b é o módulo da parte imaginária, a → a parte real b → a parte imaginária do autovetor na forma v = a → + b → i . Para o nosso problema:

a = 3 b = 3

a → = 3 0 b → = 0 3

Assim:

x 1 = e 3 t 3 0 sen ⁡ 3 t + 0 3 cos ⁡ 3 t

x 2 = e 3 t 3 0 cos ⁡ 3 t - 0 3 sen ⁡ 3 t

Putz, mas eu achei isso aí muito difícil de lembrar! Então lembre-se da fórmula de Euler:

e a + b i = e a cos ⁡ b + i sen ⁡ b

Aí é só substituir na forma convencional para números reais e aplicar a fórmula de Euler para chegar o mesmo ponto.

OK, a partir do que calculamos temos a solução geral:

X = C 1 x 1 + C 2 x 2

X = C 1 e 3 t 3 0 sen ⁡ 3 t + 0 3 cos ⁡ 3 t +

C 2 e 3 t 3 0 cos ⁡ 3 t - 0 3 sen ⁡ 3 t

X = 3 C 1 e 3 t sen ⁡ 3 t + 3 C 2 e 3 t cos ⁡ 3 t 3 C 1 e 3 t cos ⁡ 3 t - 3 C 2 e 3 t sen ⁡ 3 t

Ou, se preferir fora da forma matricial:

x t = 3 C 1 e 3 t sen ⁡ 3 t + 3 C 2 e 3 t cos ⁡ 3 t

y t = 3 C 1 e 3 t cos ⁡ 3 t - 3 C 2 e 3 t sen ⁡ 3 t

Ufa!

Resposta

X = 3 C 1 e 3 t sen ⁡ 3 t + 3 C 2 e 3 t cos ⁡ 3 t 3 C 1 e 3 t cos ⁡ 3 t - 3 C 2 e 3 t sen ⁡ 3 t

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