Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 6, Questão 3a

Resolva o sistema de equações lineares X ' = A X definido pela matriz constante A definida nos seguintes casos:

A = 1 0 0 0 3 1 0 - 1 1

Passo 1

Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:

det A - λ I = 0

det 1 - λ 0 0 0 3 - λ 1 0 - 1 1 - λ

= 1 - λ 3 - λ 1 - λ - - 1 1

= 1 - λ λ 2 - 4 λ + 4 = 1 - λ λ - 2 2 = 0

Logo os autovalores são:

λ 1 = 1 λ 2 = 2 λ 3 = 2

Ou seja, dois autovalores iguais e um distinto. Vamos encontrar os autovetores associados!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular v 1 associado a λ 1 = 1 . Para isso, temos:

A - I v 1 = 0

1 - 1 0 0 0 3 - 1 1 0 - 1 1 - 1 v 11 v 12 v 13 = 0

Que nos leva ao sistema:

2 v 12 + v 13 = 0 - v 12 = 0

Que tem solução:

v 12 = 0 v 13 = 0

Com v 11 livre. Então escolhemos v 11 = 1 e temos o autovetor:

v 1 = 1 0 0

Agora vamos calcular os autovetores associados a λ 2 = 2 :

A - 2 I v 2 = 0

1 - 2 0 0 0 3 - 2 1 0 - 1 1 - 2 v 21 v 22 v 23 = 0

Que está associado ao sistema:

v 21 = 0 v 22 + v 23 = 0 - v 22 - v 32 = 0

Que tem solução:

v 21 = 0 v 22 = - v 23

Logo, para v 22 = 1 , temos:

v 2 = 0 1 - 1

Legal, agora precisamos encontrar o autovetor associado a λ 3 = 2 . Como esse autovalor é igual a λ 3 , temos que resolver

A - 2 I v 3 = v 2

1 - 2 0 0 0 3 - 2 1 0 - 1 1 - 2 v 31 v 32 v 33 = 0 1 - 1

Que está associado ao sistema:

v 31 = 0 v 32 + v 33 = 1 - v 32 - v 33 = - 1

Que tem solução:

v 31 = 0 v 33 = 1 - v 32

Logo temos:

v 3 = 0 v 32 1 - v 32 = 0 v 32 - v 32 + 0 0 1

Em que

0 v 32 - v 32

Tem a forma de v 2 , então consideramos a segunda parcela e temos:

v 3 = 0 0 1

Agora já encontramos os autovalores e os autovetores e temos tudo que precisamos para achar a solução final!

Passo 3

Com o que já encontramos temos, para o autovalor distinto:

x 1 = v 1 e λ 1 t = 1 0 0 e t

Para o outro valor autovalor que se repete, temos:

x 2 = v 2 e λ 2 t = 0 1 - 1 e 2 t

Agora, como λ 3 = λ 2 , temos:

x 3 = v 2 t e λ 3 t + v 3 e λ 3 t = 0 1 - 1 t e 2 t + 0 0 1 e 2 t

Lembre-se: com t multiplicando v 2 ! Finalmente, a solução final será:

X = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3

X = C 1 1 0 0 e t + C 2 0 1 - 1 e 2 t + C 3 0 1 - 1 t e 2 t + C 3 0 0 1 e 2 t

X = C 1 e t C 2 e 2 t + C 3 t e 2 t - C 2 e 2 t + C 3 e 2 t 1 - t

Ou, se preferir fora da forma matricial:

x t = C 1 e t

y t = C 2 e 2 t + C 3 t e 2 t

z t = - C 2 e 2 t + C 3 e 2 t 1 - t

Prontinho!

Resposta

X = C 1 e t C 2 e 2 t + C 3 t e 2 t - C 2 e 2 t + C 3 e 2 t 1 - t

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