Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 6, Questão 1

Determine todas as soluções do sistema:

d x d t = 2 y

d y d t = 8 x

Passo 1

E aí, vamos descobrir como resolvemos essa questão! Podemos escrever o problema como um sistema na forma:

x ' = 2 y y ' = 8 x

Podemos resolver usando o método da eliminação. Como o nome sugere, vamos eliminar alguma variável.

Neste caso, vamos tentar eliminar o y ' a partir da primeira equação. Vamos olhar para ela:

x ' = 2 y

Queremos que apareça o y ' aí. Para isso, vamos derivar ambos os lados novamente:

x ' ' = 2 y '

Apareceu o y ' , mas agora temos uma derivada de segunda ordem x ' ' . Não se preocupe, é assim mesmo, vem comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos isolar o y ' para ficar da mesma maneira da segunda equação:

x ' ' = 2 y ' y ' = x ' ' 2

Opa, então temos agora o sistema na forma:

y ' = x ' ' 2 y ' = 8 x

Passo 3

Já podemos eliminar o y ' agora. Para isso, subtraímos a primeira equação do sistema modificado pela segunda:

y ' - y ' = x ' ' 2 - 8 x = 0

Multiplicando por 2 para ficar mais agradável, temos a EDO de segunda ordem:

x ' ' - 16 x = 0

Já para achar x ( t ) resolvendo essa EDO.

Passo 4

Vamos resolver então. Para uma EDO de 2ª ordem geral, temos a seguinte equação característica associada:

a x ' ' + b x ' + c x = 0 a r 2 + b r + c = 0

Logo, essa EDO está associada a equação característica:

r 2 - 16 = 0

Que tem raízes:

r =   ± 4

Como as raízes são reais e distintas, então x t será:

x t = C 1 e r 1 t + C 2 e r 2 t

x t =   C 1 e 4 t + C 2 e - 4 t

Em que C 1 e C 2 são constantes gerais associadas as condições iniciais do problemas. Como essas condições não foram dadas, deixamos elas aí sem medo de ser feliz.

Acabou? Não, ainda não! Encontramos x , mas esse é um sistema como x e y . Vamos achar a segunda função agora!

Passo 5

Show! Para encontra y vamos olhar novamente para o sistema original:

x ' = 2 y y ' = 8 x

Na primeira equação temos o y que queremos. Se encontramos x ' , estamos feitos! Para isso, é só derivar x ( t ) que encontramos anteriormente. Então vamos lá. Usando a regra da cadeia:

x ' t = C 1 e 4 t + C 2 e - 4 t ' = C 1 e 4 t ' + C 2 e - 4 t '

= C 1 4 e 4 t - C 2 - 4 e - 4 t

x ' = 4 C 1 e 4 t - C 2 e - 4 t

Pronto, achado x ' , substituímos na primeira equação:

4 C 1 e 4 t - C 2 e - 4 t = 2 y

y t = 2 C 1 e 4 t - C 2 e - 4 t

Agora achamos tanto x , quanto y em função de sua variável independente t e o problema está resolvido!

Resposta

x t = C 1 e 4 t + C 2 e - 4 t

y ( t ) = 2 C 1 e 4 t - C 2 e - 4 t

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