Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

UFF, Equações Diferenciais, Listas GMA - Lista 6, Questão 3b

Resolva o sistema de equações lineares X ' = A X definido pela matriz constante A definida nos seguintes casos:

A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Passo 1

Vamos resolver esse problema pelo método matricial, aproveitando que já está tudo em forma de matriz mesmo. Para isso, vamos determinar os autovalores essa matriz tirando o determinante:

det A - λ I = 0

det 1 - λ 0 1 0 1 - λ 0 1 0 1 - λ

= 1 - λ 1 - λ 1 - λ - 1 + λ

= 1 - λ 1 - λ 2 - 1 = 0

De cara, temos um autovalor λ 1 = 1 . Os outros autovalores são dados pela solução de:

1 - λ 2 - 1 = 0

1 - λ 2 = 1

1 - λ = ± 1

λ = 1 1

Logo os autovalores são:

λ 1 = 1 λ 2 = 2 λ 3 = 0

Ou seja, temos três autovalores distintos! Vamos encontrar os autovetores associados!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular v 1 associado a λ 1 = 1 . Para isso, temos:

A - I v 1 = 0

1 - 1 0 1 0 1 - 1 0 1 0 1 - 1 v 11 v 12 v 13 = 0

Que nos leva ao sistema:

v 13 = 0 v 11 = 0

Que tem solução:

v 11 = 0 v 13 = 0

Com v 12 livre. Então escolhemos v 12 = 1 e temos o autovetor:

v 1 = 0 1 0

Agora vamos calcular os autovetores associados a λ 2 = 2 :

A - 2 I v 2 = 0

1 - 2 0 1 0 1 - 2 0 1 0 1 - 2 v 21 v 22 v 23 = 0

Que está associado ao sistema:

- v 21 + v 23 = 0 - v 22 = 0 v 21 - v 23 = 0

Que tem solução:

v 22 = 0 v 21 = v 23

Logo, para v 21 = 1 , temos:

v 2 = 1 0 1

Isso! Agora precisamos encontrar o autovetor associado a λ 3 = 0 . Já que é distinto também, mesmo procedimento:

A - 0 I v 3 = 0

1 - 0 0 1 0 1 - 0 0 1 0 1 - 0 v 31 v 32 v 33 = 0

Que está associado ao sistema:

v 31 + v 33 = 0 v 32 = 0 v 31 + v 33 = 0

Que tem solução:

v 32 = 0 v 31 = - v 33

Logo, para v 31 = 1 , temos:

v 3 = 1 0 - 1

Agora já encontramos os autovalores e os autovetores já estamos quase lá!

Passo 3

Com o que já encontramos temos:

x 1 = v 1 e λ 1 t = 0 1 0 e t

x 2 = v 2 e λ 2 t = 1 0 1 e 2 t

x 3 = v 3 e λ 3 t = 1 0 - 1 e 0 t = 1 0 - 1

Finalmente, a solução final será:

X = C 1 x 1 + C 2 x 2 + C 3 x 3

X = C 1 0 1 0 e t + C 2 1 0 1 e 2 t + C 3 1 0 - 1

X = C 2 e 2 t + C 3 C 1 e t C 2 e 2 t - C 3

Ou, se preferir fora da forma matricial:

x t = C 2 e 2 t + C 3

y t = C 1 e t

z t = C 2 e 2 t - C 3

Prontinho!

Resposta

X = C 2 e 2 t + C 3 C 1 e t C 2 e 2 t - C 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas