Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

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Enunciado

Considere o sistema:

X ˙ t = a a b 1 b X ( t )

Em que a e b são constantes.

1. Encontre se possível, uma relação entre a e b tal que a solução X ( t ) convirja para um veto r X 1 ,   X 2 ∈ R 2 .

2. Encontre se possível, uma relação entre a   e b tal que a solução X ( t ) convirja para ( + ∞ ,   + ∞ ) ∈   R 2 .

3. E possível encontrar um exemplo de constantes a e b tais que a solução X ( t ) convirja para um vetor X 1 ,   X 2 ∈ R 2 com X 1 = ∞ e X 2 =   C , com C uma constante finita?

Passo 1

Vamos começar!

Bom! A primeira coisa a se fazer é determinar os autovalores e autovetores da matriz A , que no caso, é dada por...

A = a a b 1 b

Usando álgebra linear...

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

det ⁡ a - λ a b 1 b - λ = 0

a b - a λ - b λ + λ 2 - a b = 0

λ 2 = a λ + b λ

λ 2 = ( a + b ) λ

λ 1 = 0   o u   λ 2 = a + b

Passo 2

Agora, vamos achar os autovetores associados... Para isso, vamos ter que...

A v 1 = λ 1 I v 1

a a b 1 b x 1 x 2 = 0 0 0 0 x 1 x 2

a x 1 + a b x 2 = 0

x 1 + b x 2 = 0 → x 1 = - b x 2

Logo...

v 1 = x 1 1 - 1 b

v 1 = 1 - 1 b

Quanto ao outro autovetor...

A v 2 = λ 2 I v 2

a a b 1 b x 1 x 2 = a + b 0 0 a + b x 1 x 2

a x 1 + a b x 2 = a + b x 1

x 1 + b x 2 = a + b x 2

a x 1 + a b x 2 = a x 1 + b x 1 → b x 1 = a b x 2 x 1 + b x 2 = a x 2 + b x 2 → x 1 = a x 2

Logo...

v 2 = x 1 1 1 a

v 2 = 1 1 a

Passo 3

Tendo os dois autovetores e o autovalor, a solução vai ficar da forma...

x ( 1 ) = v 1 e λ 1 t

x ( 2 ) = v 2 e λ 2 t

Então...

x ( 1 ) = 1 - 1 b e 0 t

x ( 2 ) = 1 1 a e ( a + b ) t

De modo que a solução geral vai ficar assim...

X t = C 1 1 - 1 b + C 2 1 1 a e ( a + b ) t

Resposta

X t = C 1 1 - 1 b + C 2 1 1 a e ( a + b ) t

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Mostre que Φ t =Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.
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Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = - 3 4 1 2 1 8
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 5 1 - 2 x