Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2011.2 - Noturno, Questão 4

Resolva o sistema (dê a solução geral)

x ' = 3 - 4 1 - 1 x ,

usando autovalores e autovetores. Resolva qualquer sistema linear algébrico pelo método da redução da matriz do sistema à forma escada (por operações elementares nas linhas da matriz do sistema).

Passo 1

Para achar os autovalores, basta fazermos det A - λ I = 0 :

det 3 - λ - 4 1 - 1 - λ = 0

3 - λ   ( - 1 - λ ) + 4 = 0

- 3 - 3 λ + λ + λ 2 + 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 = 0  

λ - 1 2 = 0

λ 1,2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores. (lembrando que eles são iguais, isto é, λ = 1 com multiplicidade dois).

A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ = 1 .

A v 1 = λ v 1

A - λ I v 1 = 0

3 - 1 - 4 1 - 1 - 1 a b = 0 0

2 - 4 1 - 2 a b = 0 0

Assim, tiramos:

a - 2 b = 0

a = 2 b

Portanto:

v 1 = a b = 2 b b = b 2 1

Então, se b = 1 , temos:

v 1 = 2 1

Passo 3

Agora, para o outro autovetor...

A - λ I v 2 = v 1

Isto se deve ao fato do autovalor ser repetido – não se esqueça! Daí, temos:

2 - 4 1 - 2 c d = a b

2 - 4 1 - 2 c d = 2 1

Para resolver esse sistema, vamos tomar a matriz aumentada:

2 - 4 1 - 2 2 1 L 1 L 2 1 - 2 2 - 4 1 2 L 2 L 2 - 2 L 1 1 - 2 0 0 1 0

Isso mostra que nos resta:

1 - 2 0 0 c d = 1 0

c - 2 d = 1

c = 2 d + 1

E, assim:

v 2 = c d = 2 d + 1 d

Com d = 0 , obtemos:

v 2 = 1 0

Passo 4

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

λ = 1

v 1 = 2 1

v 2 = 1 0

Desta forma, teremos duas soluções L I :

x ( 1 ) = e t v 1 = e t 2 1

x ( 2 ) = t e 1 t v + e t v 2 = t e t 2 1 + e t 1 0 = e t 2 t + 1 t

Passo 5

Vamos obter a matriz fundamental:

ψ t = x ( 1 ) x ( 2 )

Ψ t = e t 2 2 t + 1 1 t

E, assim, a solução é dada por:

x t = ψ t   C ,       C = c 1 c 2

Isto é,

x t = C 1 x ( 1 ) + C 2 x ( 2 )

x t = e t 2 2 t + 1 1 t c 1 c 2

Resposta

x t = e t 2 2 t + 1 1 t c 1 c 2

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