Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2012.1 - Noturno, Questão 3

Encontre a solução geral (real) do sistema linear homogêneo de e.d.o.’s x ' = A x usando o método de autovalores e autovetores onde

A = 3 - 4 4 3

Passo 1

Inicialmente, vamos observar que temos um sistema linear homogêneo de e.d.o.’s com coeficientes constantes. Por isso, podemos escrevê-lo na seguinte forma matricial:

x ' t = A . x t

Onde x ( t ) é um vetor de duas coordenadas x t = x 1 ( t ) x 2 ( t ) , x ' t = x 1 ' ( t ) x 2 ' ( t ) é sua derivada e, claro, A = 3 - 4 4 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para achar os autovalores, basta fazermos det A - λ I = 0 :

det 3 - λ - 4 4 3 - λ = 0

3 - λ 2 + 16 = 0

9 - 6 λ + λ 2 + 16 = 0

λ 2 - 6 λ + 25 = 0  

Resolvendo a equação de segundo grau:

λ 1,2 = - - 6 ± - 6 2 - 4.1 . 25 2

λ 1,2 = 3 ± 4 i

Passo 3

Vamos, agora, obter os autovetores correspondentes aos autovalores.

  • Para λ 1 = 3 - 4 i :
  • A equação do autovetor diz que A v = λ v . Então vamos fazer assim, vamos chamar de v 1 = a b o autovetor associado ao autovalor λ 1 .

    A v 1 = λ 1 v 1

    A - λ 1 I v 1 = 0

    3 - 4 4 3 - 3 - 4 i 1 0 0 1 a b = 0 0

    4 i - 4 4 4 i a b = 0 0

    a . i = b a = - b . i

    Assim, as equações são redundantes. Uma possível solução é a = 1 e b = i :

    v 1 = a b = 1 i = 1 0 + 0 1 i

  • Para λ 2 = 3 + 4 i :

O procedimento é semelhante:

A - λ 2 I v 2 = 0

- 4 i - 4 4 - 4 i c d = 0 0

- c . i = d c = d . i

E, assim, obtemos c = 1 e d = - i :

v 2 = c d = 1 - i = 1 0 - 0 1 i

Note que v 2 é de fato o conjugado de v 1 .

Passo 4

A solução do sistema linear homogêneo é dada combinando os resultados acima. Vamos olhar para os autovalores e autovetores juntos:

λ 1,2 = 3 4 i

v 1,2 = 1 0 ± 0 1 i

Desta forma, teremos:

x ( 1 ) = e 3 t 1 0 cos - 4 t - 0 1 s e n ( - 4 t )

Note que: cos - 4 t = cos 4 t e s e n - 4 t = - s e n ( 4 t ) .

x ( 1 ) = e 3 t 1 0 cos 4 t + 0 1 s e n ( 4 t ) = e 3 t cos 4 t s e n 4 t

x ( 2 ) = e 3 t 1 0 s e n 4 t + 0 1 cos 4 t = e 3 t s e n 4 t cos 4 t

Passo 5

E, combinando as respostas:

x t = C 1 x ( 1 ) + C 2 x ( 2 )

x t = C 1 e 3 t cos 4 t s e n 4 t + C 2 e 3 t s e n 4 t cos 4 t

Resposta

x t = C 1 e 3 t cos 4 t s e n 4 t + C 2 e 3 t s e n 4 t cos 4 t

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