Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, volume 4. 5ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2002, pp. 597, exercício 12.3(h) - Modificado

Encontre a solução do problema.

x ' = - 9 x + 4 y y ' = - 9 x + 3 y

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o sistema na forma matricial.

X ' = - 9 4 - 9 3 X

Já tendo o sistema na forma matricial, devemos identificar o valor da matriz A

A = - 9 4 - 9 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 9 - λ 4 - 9 3 - λ = 0

- 9 - λ 3 - λ + 36 = 0

λ 2 + 6 λ - 27 + 36 = 0

λ 2 + 6 λ + 9 = 0

λ 1 = λ 2 = - 3

Esse é o caso de autovalores iguais, precisamos achar seus autovetores antes de saber como é a solução.

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A - λ 1 I v 1 = 0

- 6 4 - 9 6 x 1 x 2 = 0 0

- 6 x 1 + 4 x 2 - 9 x 1 + 6 x 2 = 0 0

Assim, encontramos o autovetor associado, que vai ser

v 1 = 2 3

Esse é um caso em que λ 1 = λ 2 , então para encontramos o outro autovetor vamos usar

A - λ 2 I v 2 = v 1

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

Então

- 6 4 - 9 6 y 1 y 2 = 2 3

E encontramos

v 2 = 1 2

Passo 4

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 1 t

x 2 = v 1 t e λ 2 t + v 2 e λ 2 t

Então

x 1 = 2 3 e - 3 t

x 2 = 2 3 t e - 3 t + 1 2 e - 3 t

Resposta

A solução geral vai ficar

X t = C 1 2 3 e - 3 t + C 2 2 3 t e - 3 t + 1 2 e - 3 t

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