Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 220, exercício 10 – Modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

  X ' = - 3 2 - 1 - 1 X

Com

X 0 = 1 - 2

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = - 3 2 - 1 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

- 3 - λ 2 - 1 - 1 - λ = 0

- 3 - λ - 1 - λ - - 1 . 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 + 2 = 0

λ 2 + 4 λ + 5 = 0

λ 1 = - 2 + i

λ 2 = - 2 - i

Esse é o caso de autovalores complexos, então

x 1 = e a t a cos b t - b sen b t

x 2 = e a t a sen b t + b cos b t

Temos que achar a e b pelos autovetores associados, já sabemos que

a = - 2

b = 1

Vamos aos vetores!!

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, lembra que eles vão ser da forma

v 1 = a + b i

v 2 = a - b i

Então só precisamos achar um deles né.

Para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

- 3 2 - 1 - 1 x 1 x 2 = - 2 + i 0 0 - 2 + i x 1 x 2

- 3 x 1 + 2 x 2 - x 1 - x 2 = - 2 + i x 1 - 2 + i x 2

Vamos ter

- 3 x 1 + 2 x 2 = - 2 + i x 1

2 x 2 = 1 + i x 1

x 2 = 1 + i 2 x 1

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 1 + i 2 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1 + i 2 = 1 1 / 2 + 0 1 / 2 i

Então

a = 1 1 / 2

b = 0 1 / 2

Passo 4

Vamos ter a solução sendo

x 1 = e - 2 t 1 1 / 2 cos 1 t - 0 1 / 2 sen 1 t

x 2 = e - 2 t 1 1 / 2 sen 1 t + 0 1 / 2 cos 1 t

E a solução geral vai ser

X t = C 1 e - 2 t 1 1 / 2 cos 1 t - 0 1 / 2 sen 1 t + C 2 e - 2 t 1 1 / 2 sen 1 t + 0 1 / 2 cos 1 t

Passo 5

Vamos agora fazer o valor inicial

X 0 = 1 - 2

X 0 = C 1 e - 2.0 1 1 / 2 cos 0 - 0 1 / 2 sen 0 + C 2 e - 2.0 1 1 / 2 sen 0 + 0 1 / 2 cos 0

X 0 = C 1 1 1 / 2 + C 2 0 1 / 2

Dessa forma temos o sistema

C 1 = 1

C 1 2 + C 2 2 = - 2

C 2 2 = - 2 - 1 2 = - 5 2

C 2 = - 5

Passo 6

A solução vai ser

X t = e - 2 t 1 1 / 2 cos t - 0 1 / 2 sen t - 5 e - 2 t 1 1 / 2 sen t + 0 1 / 2 cos t

X t = e - 2 t cos t cos t 2 - sen t 2 + e - 2 t - 5 sen t - 5 sen t 2 - 5 cos t 2

X t = e - 2 t cos t - 5 sen t cos t 2 - sen t 2 - 5 sen t 2 - 5 cos t 2

X t = e - 2 t cos t - 5 sen t - 2 cos t - 3 sen t

Resposta

X t = e - 2 t cos t - 5 sen t - 2 cos t - 3 sen t

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