Exercícios Resolvidos de Método Matricial – Caso Homogêneo

Elaboração Própria

Encontre a solução do sistema de EDO dado.

  X ' = 3 2 4 1 X

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, então vamos resolver pelo método matricial.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 2 4 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ 2 4 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - 2 . 4 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 - 8 = 0

λ 2 - 4 λ - 5 = 0

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 + 16 + 20 2 = 4 + 36 2 = 4 + 6 2 = 10 2 = 5

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 - 5 1 2.1 = 4 - 16 + 20 2 = 4 - 36 2 = 4 - 6 2 = - 2 2 = - 1

Esse é o caso de autovalores diferentes, vamos agora achar seus autovetrores

Passo 3

Agora temos que achar os autovetores associados, para isso vamos ter

A v 1 = λ 1 I v 1

3 2 4 1 x 1 x 2 = 5 0 0 5 x 1 x 2

3 x 1 + 2 x 2 4 x 1 + x 2 = 5 x 1 5 x 2

Vamos ter

3 x 1 + 2 x 2 = 5 x 1

2 x 1 = 2 x 2

x 1 = x 2

E o autovetor associado vai ser

v 1 = x 1 x 1

Podemos tirar esse x 1

v 1 = 1 1

Passo 4

Precisamos achar o outro autovetor

A v 2 = λ 2 I v 2

Vamos fazer

v 2 = y 1 y 2

3 2 4 1 y 1 y 2 = - 1 0 0 - 1 y 1 y 2

3 y 1 + 2 y 2 4 y 1 + y 2 = - y 1 - y 2

Vamos ter

3 y 1 + 2 y 2 = - y 1

2 y 2 = - 4 y 1

y 2 = - 2 y 1

E o autovetor associado vai ser

v 2 = y 1 - 2 y 1

Podemos tirar esse y 1

v 2 = 1 - 2

Passo 5

Tendo os dois autovetores e o autovalor as soluções são da forma

x 1 = v 1 e λ 2 t

x 2 = v 2 e λ 3 t  

Então

x 1 = 1 1 e 5 t

x 2 = 1 - 2 e - t  

A solução geral vai ficar

X t = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t

Resposta

X t = C 1 1 1 e 5 t + C 2 1 - 2 e - t

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