Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Uma barra metálica de comprimento L = 1 com constante de difusividade térmica k = 1 é isolada termicamente, incluindo seus extremos. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é u x , 0 = f ( x ) onde:

f x =   1 ,     0 ≤ x ≤ 1 4 - 4 x + 2 ,     1 4 ≤ x ≤ 3 4 - 1 ,     3 4 ≤ x ≤ 1

Escreva a expressão da temperatura no instante t .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.

Mas, apenas nos foi dada a condição inicial na forma matemática. Precisamos ainda escrever a EDP em si, bem como a condição de fronteira.

Sobre a EDP é falado que a constante de difusividade térmmia k = 1 , assim temos:

u t - u x x = 0

Além disso, também foi falado que os extremos estão isolados termicamente, assim vale que:

u x 0 , t = 0 ,       u x =   1 , t = 0 ,       t ≥ 0 ;

Assim, podemos montar o seguinte probleminha:

u t - u x x = 0 u x 0 , t = 0 ,       u x =   1 , t = 0 ,       t ≥ 0 ; u x , 0 = f ( x )

Excelente! Pra resolver esse tipo de problema podemos atacá-lo usando o método de separação de variáveis:

u x , t = f x g ( t )

Bora lá!

Passo 2

Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:

u x , t = f x g ( t )

E, substituindo na EDP, vem:

f x g ' t - g t f ' ' x = 0

∴ f ' ' x f x = g ' t 3 g t

A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independentemente do valor de x e de t , é se tivermos:

f ' ' x f x = g ' t 3 g t = λ

onde λ é uma constante.

Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:

f ' ' x - λ f x = 0 f ' 0 = f ' 1 = 0

E:

g ' t - λ g t = 0

Beleza!

Daí precisamos analisar os possíveis valores de λ :

- Se λ > 0 , então:

r = ± λ

f x = c 1 e - λ x + c 2 e λ x

Testando as condições iniciais:

f ' x = c 1 - λ ⋅ e - λ x + c 2 λ ⋅ e λ x

f ' 0 = - c 1 + c 2 λ = 0

Como não queremos a solução trivial:

c 2 - c 1 = 0

∴ c 2 = c 1

Logo:

f ' 1 = c 1 - λ ⋅ e - λ + c 1 λ ⋅ e λ = 0

Daí, temos:

c 1 = c 2 = 0

Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...

- Se λ = 0 , então:

r = 0

∴ f x = c 1 + c 2 x

Colocando as condições iniciais:

f ' 0 = c 2 = 0

E:

f ' 3 = c 2 = 0

Daí, temos uma solução:

f x = c 1

Massa!

- Se λ < 0 , então:

f x = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 s e n - λ x

Como:

f ' x = - - λ ⋅ c 1 ⋅ sen ⁡ - λ x + - λ ⋅ c 2 c o s ⁡ ( - λ x )

Pela condição inicial:

f ' ( 0 ) = c 2 - λ = 0

∴ c 2 = 0

Logo:

f ' ( 1 ) = - λ c 1 s e n - λ = 0

Como não queremos a solução trivial, devemos ter:

s e n - λ = 0

∴ - λ = n π

⇒ λ = - n 2 π 2

Daí, desconsiderando a constante c 1   ( c 1 = 1 ) , temos que as autofunções são:

f n x = c o s n π x ,     n = 1,2 , 3 , …

Perfeito.

Passo 3

Substituindo agora o valor que encontramos para λ na EDO em g ( t ) , teremos que:

g ' t - - n 2 π 2 g t = 0

Logo:

g t = e - n 2 π 2 t

= e - n 2 π 2 t

Daí, juntando todas as soluções de f e g , e lembrando que:

u x , t = f x g t

Chegamos que:

u x , t = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 t ⋅ cos ⁡ n π x

Pra matar a questão precisamos apenas descobrir quanto vale c n , e é justamente aí que entra nossa condição inicial, C I , dada no problema.

u x , 0 = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n ⋅ cos ⁡ n π x = 1 ,     0 ≤ x ≤ 1 4 - 4 x + 2 ,     1 4 ≤ x ≤ 3 4 - 1 ,     3 4 ≤ x ≤ 1

Ou seja gente, a nossa solução da EDP para t = 0 é justamente a extensão par e periódica de f ( x ) .

Assim, o coeficiente c n , para n = 0,1 , 2 , … são os coeficientes da série de Fourier de f ( x ) , que podem ser calculados como:

c n = 2 1 ⋅ ∫ 0 1 4 1 ⋅ cos ⁡ n π x d x + ∫ 1 4 3 4 - 4 x + 2 ⋅ cos ⁡ n π x d x + ∫ 3 / 4 1 - 1 ⋅ cos ⁡ n π x d x

Massa! Nossa missão então se resume a resolver essas três integrais.

Passo 4

Começando pela primeira integral, temos:

∫ 0 1 4 1 ⋅ cos ⁡ n π x d x = 1 n π ⋅ s e n n π x 0 1 4

= 1 n π ⋅ s e n n π 4

Já na segunda integral, vamos ter:

∫ 1 4 3 4 - 4 x + 2 ⋅ cos ⁡ n π x d x

Para resolvê-la podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos revisá-lo:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Logo, fazendo:

u = - 4 x + 2 d v = cos ⁡ n π x

Assim:

Daí, vamos ter:

∫ 1 4 3 4 - 4 x + 2 ⋅ cos ⁡ n π x d x = - 4 x + 2 ⋅ 1 n π s e n n π x 1 4 3 4 + 4 n π ∫ 1 4 3 4 s e n n π x d x

=   - 1 n π s e n 3 n π 4 + s e n n π 4 + 4 n π ⋅ - 1 n π ⋅ cos ⁡ n π x 1 4 3 4

= - 1 n π s e n 3 n π 4 + s e n n π 4 + 4 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Perfeito!   Vamos agora para a última integral:

∫ 3 4 1 - 1 ⋅ cos ⁡ n π x d x = - 1 n π ⋅ s e n n π x 3 4 1

= 1 n π ⋅ s e n 3 n π 4

Juntando tudo, vamos ficar com:

c n = 2 n π ⋅ s e n n π 4 - s e n 3 n π 4 - s e n n π 4 + s e n ( 3 n π 4 ) + 8 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Logo:

c n = 16 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

Prontinho! Matamos mais uma questão, até a próxima 😊

Resposta

u x , t = c 0 2 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 t ⋅ cos ⁡ n π x

c n = 16 n 2 π 2 ⋅ cos ⁡ n π 4 - cos ⁡ 3 n π 4

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