Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Resolva o problema

E D   ∂ t u = k   ∂ 2 x u ,   0 ≤ x ≤ L ,   t ≥ 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = d , u x ( L , t ) = c ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = c x + d ,   0 ≤ x ≤ L .

onde c e d são constantes dadas.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = k   ∂ 2 x u ,   0 ≤ x ≤ L ,   t ≥ 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = d , u x ( L , t ) = c ,   t ≥ 0 ;

e condições iniciais (CI)

u ( x , 0 ) = c x + d ,   0 ≤ x ≤ L .

Essa é a equação que descreve a evolução temporal e espacial da temperatura u ( x , t ) ao longo de um barra de comprimento L , em que inicialmente a temperatura é dada por u ( x , 0 ) = c x + d , e temos que as condições de contorno são dadas sobre a derivada espacial da temperatura nas extremidades u ( 0 , t ) = d e u x ( L , t ) = c . Vamos procurar uma solução estacionária para tentar reescrever o problema de uma maneira mais usual! Saca só!

Passo 2

A solução estacionária é construída tal que

u ( x , t ) = v ( x )

ou seja, uma solução independente do tempo. Substituindo em nossa equação diferencial obtemos uma equação mais simples da forma

k d 2 d x 2 v ( x ) = 0

de forma que podemos integrar duas vezes para obter o seguinte formato

v ( x ) = C 1 x + C 2 k

As condições de contorno estacionárias são tais que

v ( 0 ) = d e d d x [ v ( L ) ] = c

derivando a nossa função temos que

d d x [ v ( L ) ] = C 1 k = c

de forma que C 1 = k c . Para o valor de C 2 , usamos que

v ( 0 ) = C 2 k = d

então temos que C 2 = k d . De forma que a nossa solução estacionária é simplesmente

v ( x ) = k c x + k d = k ( c x + d )

Definindo então o transiente w ( x , t ) tal que

u ( x , t ) = w ( x , t ) + v ( x )

a equação do calor se torna

∂ t w ( x , t ) = k   ∂ x 2 w ( x , t )

com condições de contorno da forma

w ( 0 , t ) = d - d = 0 e ∂ x w ( L , t ) = c - c = 0

A condição inicial é dada simplesmente por

w ( x , 0 ) = f ( x ) - k ( c x + d )

Este problema nós conseguimos resolver por separação de variáveis, saca só!

Passo 3

O método de separação de variáveis é tal que propomos uma solução da forma

w ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t )

aplicando em nossa equação diferencial, temos que

ϕ ( x ) d d t [ ψ ( t ) ] = k   ψ ( t ) d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ]

Separando as variáveis temos que

1 k ψ ( t ) d d t [ ψ ( t ) ] = - λ = 1 ϕ ( x ) d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ]

note que ambos os lados da equação diferencial deve ser igual a uma constante negativa. A razão da constante ser negativa foi discutida em questões anteriores, mas é pelo fato de que isso possibilita que encontremos soluções não-nulas para este problema. Belezinha? Qualquer coisa procure revisar um pouco dos conceitos mais básicos de EDP! Por hora, vamos apenas resolver ambos os lados da equação!

Passo 4

O lado esquerdo é uma equação diferencial de primeira ordem separável, portanto, ela pode ser resolvida como

d [ ψ ( t ) ] ψ ( t ) = - k λ   d t

integrando de ambos os lados temos que

l n ( ψ ( t ) ) = - k   λ   t   + C

ou simplesmente

ψ ( t ) = K e - k λ t

Vamos trabalhar com o lado direito agora! Saca só!

Passo 5

Do lado direito temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por

d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ] + λ ϕ ( x ) = 0

o polinômio característico relacionado é tal que

r 2 + λ = 0

portanto, temos raízes complexas conjugadas da forma r = ± λ . E, sendo assim, a solução é da forma

ϕ ( x ) = C 1 s e n ( λ x ) + C 2 c o s ( λ x )

Precisamos avaliar as condições de contorno, mas quais são elas? Note que

w ( 0 , t ) = [ ϕ ( 0 ) ] ψ ( t ) = 0

ψ ( t ) = 0 resulta em uma solução trivial, portanto, temos que

[ ϕ ( 0 ) ] = 0

e, analogamente, temos que

d d x [ ϕ ( L ) ] = 0

Vamos aplicar essas condições e encontrar as nossas constantes!

Passo 6

Da própria função em x = 0 , obtemos que

0 = C 2

Derivando a nossa função temos que

d d x [ ϕ ( x ) ] = C 1 λ   c o s ( λ x ) - C 2 λ s e n ( λ x )

em x = 1 , temos que

C 1 c o s ( λ ) = 0

Para termos soluções não nulas iremos buscar que

λ 2 = ( 2 n + 1 ) 2 π 2 4

Portanto, temos infinitas soluções não-nulas da forma

ϕ n ( x ) = C n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ]

de forma que temos a nossa solução transiente como

w n ( x , t ) = K n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e - k   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 4

Ou seja, as soluções gerais são da forma

w ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ K n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e - k   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 4

Vamos aplicar a condição inicial! Vem comigo!

Passo 7

Nossa condição inicial diz que

w ( 0 , t ) = c x + d - k ( c x + d ) = ( c x + d ) ( 1 - k )

portanto, temos que

( c x + d ) ( 1 - k ) = ∑ n = 0 ∞ K n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ]

Ou seja, temos que os K n são os coeficientes de seno de uma série de Fourier, dados por

K n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s e n ( n π x L ) d x = 2 ( 1 - k ) L ∫ 0 L ( c x + d ) s e n ( n π x L ) d x

Isso se reduz a duas integrais, uma da forma

∫ 0 L s e n ( n π x L ) d x

e, outra como

∫ 0 L x s e n ( n π x L ) d x

Vamos resolvê-las!

Passo 8

A primeira integral é tal que

∫ 0 L s e n ( n π x L ) d x = - L n π c o s ( n π x L ) | 0 L = L n π [ 1 - c o s ( n π ) ]

e, a segunda pode ser integrada por partes para obter

∫ 0 L x s e n ( n π x L ) d x = - L n π x   c o s ( n π x L ) | 0 L + L n π ∫ 0 L c o s ( n π x L ) d x

ou simplesmente

∫ 0 L x s e n ( n π x L ) d x = - L 2 n π c o s ( n π )

Portanto, os coeficientes são dados por

K n = - 2 ( 1 - k ) c L n π c o s ( n π ) + 2 ( 1 - k ) d n π [ 1 - c o s ( n π ) ]

Evidenciando os termos em comum, temos que

K n = 2 ( 1 - k ) n π [ d - d   c o s ( n π ) - c L   c o s ( n π ) ] = 2 ( 1 - k ) n π [ d - ( d + c L )   c o s ( n π ) ]

De forma que a nossa solução é dada por

w ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ 2 ( 1 - k ) n π [ d - ( d + c L )   c o s ( n π ) ] s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e - k   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 4

e, sendo assim, temos que

u ( x , t ) = k ( c x + d ) + ∑ n = 0 ∞ 2 ( 1 - k ) n π [ d - ( d + c L )   c o s ( n π ) ] s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e - k   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = k ( c x + d ) + ∑ n = 0 ∞ 2 ( 1 - k ) n π [ d - ( d + c L )   c o s ( n π ) ] s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e - k   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 4

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