Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Considere o problema de condução de calor:

( b ) Encontre a solução transiente do problema.

Passo 1

Oiiie, tudo bem com você?

Nós temos a construção usual de um problema de condução de calor em uma barra

em que u ( x , t ) representa a temperatura ao longo do tempo t e ao longo do comprimento da barra x . Essa barra tem extremidades em x = 0 e x = L = 2 , e suas extremidades estão sendo mantidas à temperaturas u ( 0 , t ) = 0 e u ( 2 , t ) = 4 , além disso, sua distribuição de temperatura inicial ao longo da barra é u ( x , 0 ) = 2 x + s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 ) .

Na alternativa anterior encontramos a solução estacionária como

h ( x ) = 2 x

usando essa solução vamos reescrever o problema dado em termos de um problema mais simples, o caso de condução de calor em uma barra com extremidades a mesma temperatura! Mas, como fazemos isso? Através da seguinte definição

v ( x , t ) = u ( x , t ) - h ( x )

Saca só o que acontece quando fazemos isso!

Passo 2

Substituindo a definição de v ( x , t ) em nossa equação diferencial, temos que

v x x ( x , t ) = v t ( x , t )

que é uma equação diferencial análoga à original do nosso problema. Mas, agora as condições de contorno são tais que

v ( 0 , t ) = u ( 0 , t ) - h ( 0 ) = 0 - 0

de forma que v ( 0 , t ) = 0 . Da mesma maneira, temos que

v ( 2 , t ) = u ( 2 , t ) - h ( 2 ) = 0 .

agora precisamos adaptar a nossa condição inicial

v ( x , 0 ) = u ( x , 0 ) - h ( x ) = 2 x + s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 ) - 2 x

ou simplesmente

v ( x , 0 ) = s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 )

a solução do problema para v ( x , t ) nos dá a solução transiente desejada! Bora começar!

Passo 3

Okay, mas e agora? Como resolvemos o problema para v ( x , t ) ? Vamos usar o método de separação de variáveis, ou seja, vamos escrever que

v ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t )

ou seja, a solução é o produto de uma parte que depende apenas de x , com uma parte que depende apenas de t . Substituindo em nossa equação diferencial, temos que

ψ ( t ) d 2 ϕ ( x ) d x 2 = ϕ ( x ) d ψ ( t ) d t

se separarmos as variáveis, uma de cada da equação, temos que

1 ϕ ( x ) d 2 ϕ ( x ) d x 2 = - λ = 1 ψ ( t ) d ψ ( t ) d t

note que igualei a uma constante negativa. Igualar a uma constante é padrão nas resoluções de equações diferenciais parciais por este método, já que se um lado evoluí dependendo apenas no tempo, e outro apenas na posição, a única forma de obter uma igualdade é se elas forem iguais a uma constante. Mas, porquê negativa? Isso é devido às condições de existência e unicidade da solução da equação diferencial! Você poderia colocar uma constante arbitrária, mas admitindo que ela é negativa, você economiza o trabalho de tentar obter outras soluções que não funcionam. As condições de contorno nos indicam que

v ( 0 , t ) = ϕ ( 0 ) ψ ( t ) = 0

como escolher que ψ ( t ) = 0 nos leva a solução trivial v ( x , t ) = 0 . Vamos escolher ϕ ( 0 ) = 0 , pois isso nos leva à uma solução diferente! Da mesma forma, temos que

v ( 2 , t ) = ϕ ( 2 ) ψ ( t ) = 0

e temos ϕ ( 2 ) = 0 . As condições iniciais do problema nós vamos tratar só no final! Vamos começar a resolver isso! Vem comigo!

Passo 4

A equação que comanda a distribuição da temperatura pela barra é

1 ϕ ( x ) d 2 ϕ ( x ) d x 2 = - λ

colocando tudo do lado esquerdo, temos a seguinte equação diferencial de segunda ordem homogênea

d 2 ϕ ( x ) d x 2 + λ ϕ ( x ) = 0

Isso nos leva ao seguinte polinômio característico

r 2 + λ = 0

que tem raízes imaginárias da forma

r = ± i λ

Portanto, nossa solução é uma combinação linear de senos e cossenos da forma

ϕ ( x ) = A   c o s ( λ x ) + B s e n ( λ x )

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as nossas constantes! Saca só!

Passo 5

Usando a condição inicial ϕ ( 0 ) = 0 , temos que

ϕ ( 0 ) = A   c o s ( λ ( 0 ) ) + B s e n ( λ ( 0 ) ) = 0

obtemos que A = 0 . Agora, da condição inicial ϕ ( 2 ) = 0 , temos que

ϕ ( 2 ) = ( 0 )   c o s ( λ 2 ) + B   s e n ( λ ( 2 ) ) = 0

resultando na equação

B   s e n ( 2 λ ) = 0

se escolhermos B = 0 , temos que ϕ ( x ) = 0 , e portanto, v ( x , t ) = 0 . Isso é a solução trivial, portanto, vamos usar essa condição para colocar o seguinte vínculo na constante λ , temos que para zerar a equação acima, o argumento do seno deve ser

2 λ = n π

de forma que λ = n 2 π 2 / 4 . Ou seja, temos uma solução para cada valor de n , de forma que obtemos

ϕ n ( x ) = B n s e n ( n π x 2 )

Uff… Vamos resolver o lado direito da equação agora! Vem comigo!

Passo 6

O lado direito é a equação que depende do tempo

- λ = 1 ψ ( t ) d ψ ( t ) d t

essa é uma equação diferencial de primeira ordem separável, se integrarmos ambos os lados na expressão acima, obtemos que

l n ( ψ ( t ) ) = - λ t + C

aplicando a exponencial em ambos os lados, podemos isolar ψ ( t ) como

ψ ( t ) = K e - λ t

Usando o valor de lambda que achamos anteriormente, temos que essa solução também é única para cada valor de n na forma

ψ n ( t ) = K n e - n 2 π 2 t 4

Vamos achar agora a solução de nosso problema? Vem comigo!

Passo 7

A solução do nosso problema é o produto

v n ( x , t ) = ϕ n ( x ) ψ n ( t ) = C n s e n ( n π x 2 ) e - π 2 n 2 4 t

mas note que a combinação linear de toda solução independente também é solução, portanto, a solução mais geral é da forma

v ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ C n   s e n ( n π x 2 ) e - π 2 n 2 4 t

Agora, finalmente podemos aplicar as nossa condição inicial v ( x , 0 ) , obtendo que

v ( x , 0 ) = ∑ n = 1 ∞ C n s e n ( n π x 2 ) e 0 = s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 )

que nos leva à

s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 ) = ∑ n = 1 ∞ C n s e n ( n π x 2 )

note que do lado esquerdo podemos identificar os termos com n = 3 e n = 7 , e nenhum outro, portanto, a nossa soma é somente dada por

s e n ( 3 π x 2 ) - s e n ( 7 π x 2 ) = C 1   s e n ( 3 π x 2 ) + C 7 s e n ( 7 π x 2 )

ou seja, comparando os dois lados, temos que C 1 = 1 e C 7 = - 1 , e a nossa solução transiente é finalmente dada por

v ( x , t ) = s e n ( 3 π x 2 ) e - 9 π 2 4 t - s e n ( 7 π x 2 ) e - 49 π 2 4 t 2

Guarde esse resultado pois precisaremos para a próxima alternativa! Te vejo jajá!

Resposta

v ( x , t ) = s e n ( 3 π x 2 ) e - 9 π 2 4 t - s e n ( 7 π x 2 ) e - 49 π 2 4 t 2

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