Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

d) Determine a solução estacionária do problema que você escreveu em (a).

Passo 1

Olá gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura g e ( t ) e g d ( t ) . Posteriormente o enunciado nos fala que:

g e t = g d t = 0

Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.

Usando essas informações montamos, no item anterior, o seguinte PVI com condições de fronteira para a equação de calor:

∂ t u - K h ∂ x x u = 0 u x , 0 = f ( x ) u 0 , t = u L , t = 0

Agora o enunciado nos pede para resolver o problema acima.

Para isso vamos usar o método de separação de variáveis.

Vamo nessa!

Passo 2

Usando o método de separação de variáveis, dizemos que:

u x , t = X x T ( t )

Daí, substituindo na equação do calor, vem:

X x T ' t - α 2 T t X ' ' x = 0

onde α 2 = K h .

X ' ' x X x = T ' t α 2 T t = λ  

Daí tiramos duas EDO’s:

X ' ' x - λ X x = 0 X 0 = X L = 0

e:

T ' T - λ α 2 T t = 0

Resolvendo a primeira EDO, se λ ≥ 0 encontramos apenas as soluções triviais. Daí, temos o caso λ < 0 , cujos autovalores valem:

\ l a m b d a =   - n 2 π 2 L 2 ,   n = 1,2 , 3 , …

De onde vem que:

X n x = s e n n π x L

Substituindo o autovalor na EDO em T ( t ) , temos:

T n t = e - n 2 π 2 α 2 t L 2 ,     n = 1,2 , 3 ,

Daí, temos a seguinte solução:

u x , t = X x T t

∴ u ( x , t ) = s e n n π x L e - n 2 π 2 α 2 t L 2

Pelo princípio da superposição, concluímos que a solução formal é:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 α 2 L 2 t ⋅ s e n n π x L ,       n = 1,2 , 3 , …

onde esse c n vale:

c n = 2 L ∫ 0 L f x ⋅ s e n n π x L d x

Ou seja, são os coeficientes da expansão da série de Fourier de f em senos. Mas, como no enunciado não foi dada a condição inicial, essa solução formal é o máximo que conseguimos detalhar do nosso problema.

Com isso matamos mais uma questão gente! Muito obrigado pela atenção de vocês!

Até a próxima 😉

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 α 2 L 2 t ⋅ s e n n π x L ,       n = 1,2 , 3 , …

c n = 2 L ∫ 0 L f x ⋅ s e n n π x L d x

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