Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

b ) Determine que condições de fronteira deve satisfazer X ( x ) para que uma solução fatorada u x , t = X x T ( t ) da equação do calor satisfaça as condições de fronteira apresentadas acima.

Passo 1

E aí gente, tudo bom?

Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura g e ( t ) e g d ( t ) . Posteriormente o enunciado nos fala que:

g e t = g d t = 0

Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.

Usando essas informações montamos, no item anterior, o seguinte PVI com condições de fronteira para a equação de calor:

∂ t u - K h ∂ x x u = 0 u x , 0 = f ( x ) u 0 , t = u L , t = 0

Agora o enunciado nos pergunta quais as as condições de fronteira a função X ( x ) deve satisfazer para que possamos ter uma solução do tipo:

u x , t = X x T ( t )

Então, vamos substituir essa solução separável nas nossas condições de fronteira de u e descobrir as condições que X ( x ) deve satisfazer.

Vamo nessa!

Passo 2

Temos:

u x , t = X x T ( t )

Mas, das condições de fronteira do problema que montamos, temos:

u 0 , t = 0

u L , t = 0

Daí, como:

u 0 , t = X 0 T t

u L , t = X L T ( t )

Vamos ter:

X 0 T t = 0

Temos o produto de duas funções. Se T t = 0 , então temos uma solução trivial. Pois, a barra precisaria estar nula em todo o seu comprimento em qualquer instante de tempo.

Sendo assim, temos:

X 0 = 0

Analogamente:

X L = 0

Portanto, a nossa função X ( x ) deve satisfazer as condições de fronteira:

X 0 = X L = 0

E aí, entenderam bem? Responde Aí!

Resposta

X 0 = x L = 0

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