Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Determine a solução estacionária do problema de condução do calor

E D   ∂ t u = ∂ x 2 u - ∂ x u ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 0 , u ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x < 1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = ∂ x 2 u - ∂ x u ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = 0 , u ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

e condições iniciais (CI)

u ( x , 0 ) = f ( x ) ,   0 ≤ x < 1

Aqui temos uma equação diferencial que rege a evolução temporal e espacial da temperatura u ( x , t ) em um barra metálica de comprimento L = 1 , as extremidades da barra estão a temperaturas diferentes, e ela tem uma distribuição de temperatura inicial dada por f ( x ) . O problema quer uma solução estacionária, portanto, uma solução da forma

u ( x , t ) = v ( x )

Vamos aplicar isso em nossa equação diferencial! Bora lá!

Passo 2

Aplicando em nossa equação diferencial temos que

0 = d 2 d x 2 v ( x ) - d d x v ( x ) ;

note que mudei as derivadas parciais para derivadas totais, já que a função depende apenas de x , temos então equação diferencial de segunda ordem. Podemos separar as variáveis da seguinte maneira

d d x [ d   d x v ( x ) ] 1 d d x [ v ( x ) ] = 1

multiplicando os dois lados por d x , temos que

d [ d   d x v ( x ) ] 1 d d x [ v ( x ) ] = d x

integrando de ambos os lados, temos

∫ d [ d   d x v ( x ) ] 1 d d x [ v ( x ) ] = ∫ d x

Mas como diabos resolver isso? Vamos tentar deixar um pouco mais fácil de visualizar!

Passo 3

Vamos mudar o nome da função na integral, temos que

y = d d x [ v ( x ) ]

de forma que a integral se torna

∫ d y y = ∫ d x

agora, podemos integrar os ambos lados e obter

l n ( y ) = x + C 1

portanto, temos que

y = K 1 e x

voltando para a nossa definição original, temos que

d d x [ v ( x ) ] = K 1 e x

Temos que integrar novamente! Vamos fazer isso!

Passo 4

Agora é mais simples de realizar a integração, temos que

∫ d [ v ( x ) ] = K 1 ∫ e x d x

de forma que obtemos

v ( x ) = K 1 e x + K 2

Agora, para achar essas constantes de integração, precisamos avaliar as condições de contorno do problema

u ( 0 , t ) = 0 , u ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

como a solução estacionária é independente do tempo, as condições de contorno implica somente que

v ( 0 ) = 0 e v ( 1 ) = 1

de forma que obtemos duas equações da forma

0 = K 1 + K 2 e 1 = K 1 e + K 2

da primeira equação temos que K 1 = - K 2 , e portanto, temos que a segunda equação resulta em

1 = K 1 ( e - 1 )

ou simplesmente

K 1 = 1 e - 1 = - K 2

sendo assim, a nossa solução estacionária é

v ( x ) = 1 e - 1 e x + 1 1 - e = 1 e - 1 [ e x - 1 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

v ( x ) = 1 e - 1 [ e x - 1 ]

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