Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

Ver Teoria

Enunciado

Determine a solução de

E D   ∂ t u = 2   ∂ 2 x u ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

C F   u ( 0 , t ) = 1 , u x ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

C I   u ( x , 0 ) = x + s e n ( 3 π 2 x ) + 1 ,   0 < x < 1 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos a seguinte equação diferencial (ED)

∂ t u = 2   ∂ 2 x u ,   0 < x < 1 ,   t > 0 ;

com as condições de fronteira (CF)

u ( 0 , t ) = 1 , u x ( 1 , t ) = 1 ,   t > 0 ;

e condições iniciais (CI)

u ( x , 0 ) = x + s e n ( 3 π 2 x ) + 1 ,   0 < x < 1 .

Essa é a equação que descreve a evolução temporal e espacial da temperatura u ( x , t ) ao longo de um barra de comprimento L = 1 , em que inicialmente a temperatura é dada por u ( x , 0 ) = x + s e n ( 3 π 2 x ) + 1 , e temos que as condições de contorno são dadas sobre a derivada espacial da temperatura nas extremidades u ( 0 , t ) = 1 e u x ( 1 , t ) = 1 . Vamos procurar uma solução estacionária para tentar reescrever o problema de uma maneira mais usual! Saca só!

Passo 2

A solução estacionária é construída tal que

u ( x , t ) = v ( x )

ou seja, uma solução independente do tempo. Substituindo em nossa equação diferencial obtemos uma equação mais simples da forma

2 d 2 d x 2 v ( x ) = 0

de forma que podemos integrar duas vezes para obter o seguinte formato

v ( x ) = C 1 x + C 2 2

As condições de contorno estacionárias são tais que

v ( 0 ) = 1 e d d x [ v ( 1 ) ] = 1

derivando a nossa função temos que

d d x [ v ( 1 ) ] = C 1 2 = 1

de forma que C 1 = 2 . Para o valor de C 2 , usamos que

v ( 0 ) = C 2 2 = 1

então temos que C 2 = 2 . De forma que a nossa solução estacionária é simplesmente

v ( x ) = x + 1

Definindo então o transiente w ( x , t ) tal que

u ( x , t ) = w ( x , t ) + v ( x )

a equação do calor se torna

∂ t w ( x , t ) = 2   ∂ x 2 w ( x , t )

com condições de contorno da forma

w ( 0 , t ) = 1 - 1 = 0 e ∂ x w ( 1 , t ) = 1 - 1 = 0

A condição inicial é dada simplesmente por

w ( x , 0 ) = f ( x ) - x - 1

Este problema nós conseguimos resolver por separação de variáveis, saca só!

Passo 3

O método de separação de variáveis é tal que propomos uma solução da forma

w ( x , t ) = ϕ ( x ) ψ ( t )

aplicando em nossa equação diferencial, temos que

ϕ ( x ) d d t [ ψ ( t ) ] = 2   ψ ( t ) d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ]

Separando as variáveis temos que

1 2 ψ ( t ) d d t [ ψ ( t ) ] = - λ = 1 ϕ ( x ) d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ]

note que ambos os lados da equação diferencial deve ser igual a uma constante negativa. A razão da constante ser negativa foi discutida em questões anteriores, mas é pelo fato de que isso possibilita que encontremos soluções não-nulas para este problema. Belezinha? Qualquer coisa procure revisar um pouco dos conceitos mais básicos de EDP! Por hora, vamos apenas resolver ambos os lados da equação!

Passo 4

O lado esquerdo é uma equação diferencial de primeira ordem separável, portanto, ela pode ser resolvida como

d [ ψ ( t ) ] ψ ( t ) = - 2 λ   d t

integrando de ambos os lados temos que

l n ( ψ ( t ) ) = - 2   λ   t   + C

ou simplesmente

ψ ( t ) = K e - 2 λ t

Vamos trabalhar com o lado direito agora! Saca só!

Do lado direito temos uma equação diferencial de segunda ordem homogênea dada por

d 2 d x 2 [ ϕ ( x ) ] + λ �� ( x ) = 0

o polinômio característico relacionado é tal que

r 2 + λ = 0

portanto, temos raízes complexas conjugadas da forma r = ± λ . E, sendo assim, a solução é da forma

ϕ ( x ) = C 1 s e n ( λ x ) + C 2 c o s ( λ x )

Precisamos avaliar as condições de contorno, mas quais são elas? Note que

w ( 0 , t ) = [ ϕ ( 0 ) ] ψ ( t ) = 0

ψ ( t ) = 0 resulta em uma solução trivial, portanto, temos que

[ ϕ ( 0 ) ] = 0

e, analogamente, temos que

d d x [ ϕ ( 1 ) ] = 0

Vamos aplicar essas condições e encontrar as nossas constantes!

Passo 5

Da própria função em x = 0 , obtemos que

0 = C 2

Derivando a nossa função temos que

d d x [ ϕ ( x ) ] = C 1 λ   c o s ( λ x ) - C 2 λ s e n ( λ x )

em x = 1 , temos que

C 1 c o s ( λ ) = 0

Para termos soluções não nulas iremos buscar que

λ 2 = ( 2 n + 1 ) 2 π 2 4

Portanto, temos infinitas soluções não-nulas da forma

ϕ n ( x ) = C n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ]

de forma que temos a nossa solução transiente como

w n ( x , t ) = K n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e -   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 2

Ou seja, as soluções gerais são da forma

w ( x , t ) = ∑ n = 0 ∞ K n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ] e -   ( 2 n + 1 ) 2 π 2 t / 2

Vamos aplicar a condição inicial! Vem comigo!

Passo 6

Nossa condição inicial diz que

w ( 0 , t ) = x + s e n ( 3 π 2 x ) + 1 - x - 1 = s e n ( 3 π 2 x )

portanto, temos que

s e n ( 3 π 2 x ) = ∑ n = 0 ∞ K n s e n [ ( 2 n + 1 ) π 2 x ]

note que no lado esquerdo temos exatamente o termo de n = 1 , portanto, o único termo não nulo é

K 1 = 1

Nossa solução transiente é então dada por

w ( x , t ) = s e n [ 3 π 2 x ] e -   9 π 2 t / 8

e a nossa solução é tal que

u ( x , t ) = x + 1 + s e n [ 3 π 2 x ] e - 9 π 2 t / 8

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

u ( x , t ) = x + 1 + s e n [ 3 π 2 x ] e - 9 π 2 t / 8

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a temperatura no estado estacionário u(ρ, φ) na esfera de raio unitário se a temperatura for independente de θ e satisfizer a condição de contorno:
Encontre a temperatura no estado estacionário em uma barra semi-infinita 0
Considere o fluxo de calor em um cilindro de comprimento infinito e raio 1: 0 ≤ r e as seguintes condições inicial e de contorno:Mostre que em que J0(λn) = 0. Encontre uma fórmula para cn.