Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com líquidos a temperatura g e ( t ) e g d ( t ) , respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é possível deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades:

q 0 , t = - K ∂ x u 0 , t = - h u 0 , t - g e t ,

q L , t = - K ∂ x u L , t = h u L , t - g d t ,

onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade térmica do material da barra e o coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o líquido e os extremos da barra.

Suponha que g e e g d são nulas, ou seja, ambos os líquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.

c) Qual seria a maior dificuldade para resolver o problema em ( a ) ?

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão temos uma barra homogênea cujas extremidades são colocadas em dois recipientes com líquidos à temperatura g e ( t ) e g d ( t ) . Posteriormente o enunciado nos fala que:

g e t = g d t = 0

Ou seja, na verdade temos um probleminha em que as extremidades estão sendo mantidas à temperatura fixa e igual a zero.

Usando essas informações montamos, no item anterior, o seguinte PVI com condições de fronteira para a equação de calor:

∂ t u - K h ∂ x x u = 0 u x , 0 = f ( x ) u 0 , t = u L , t = 0

Agora o enunciado nos pergunta qual seria a maior dificuldade para resolver esse PVI da equação da onda.

Vamos pensar um pouquinho nissoo...

Passo 2

Então gente, tem alguns pontos que são mais sensíveis na resolução desse problema. O principal deles, a meu ver, é o fato de não termos recebido a condição inicial. Supomos que u ( x , 0 ) vale f ( x ) para conseguir escrever o PVI.

Mas, sem o valor de f ( x ) , a solução formal da EDP irá depender de um coeficiente que é obtido pela série de Fourier de f ( x ) .

Por isso, o ponto de maior dificuldade é a falta da condição inicial da barra.

Resposta

A falta da condição incial da barra.

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Encontre a temperatura no estado estacionário u(ρ, φ) na esfera de raio unitário se a temperatura for independente de θ e satisfizer a condição de contorno:
Encontre a temperatura no estado estacionário em uma barra semi-infinita 0
Considere o fluxo de calor em um cilindro de comprimento infinito e raio 1: 0 ≤ r e as seguintes condições inicial e de contorno:Mostre que em que J0(λn) = 0. Encontre uma fórmula para cn.