Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Verifique que todas as soluções fatoradas da equação do calor da forma

u x , t = e - α 2 k t c 1 e α x + c 2 e - α x que satisfazem as condições de fronteira que representam extremidades isoladas devem ser nulas.

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza?

Nessa questão recebemos a função:

u x , t = e - α 2 k t c 1 e α x + c 2 e - α x

E, o enunciado nos pede para provar que todas as funções na forma acima que satisfazem a equação do calor onde as extremidades da barra estão isoladas devem ser nulas.

A equação do calor diz que:

∂ t u = c ⋅ ∂ x x u

onde c é uma constante.

A condição de fronteira que expressa que as extremidades da barra estão isoladas é dada por:

u x 0 , t = u x L , t = 0 ,   t > 0

ou seja, a derivada de u com relação a x nas extremidades da barra é nula.

Para provar que a função na forma dada que satisfaz essas condições é a função nula, vamos aplicar as condições de fronteira em u x , t .

Vamo nessa!

Passo 2

Como as extremidades da barra estão isoladas, devemos ter que:

u x 0 , t = 0

Calculando a derivada parcial da função dada vamos ter:

∂ e - α 2 k t c 1 e α x + c 2 e - α x ∂ x = e - α 2 k t ⋅ ∂ c 1 e α x + c 2 e - α x ∂ x

= e - α 2 k t ⋅ α c 1 ⋅ e α x - c 2 e - α x = 0

Aplicando x = 0 , temos:

u x 0 , t = e - α 2 k t ⋅ α c 1 - c 2 = 0

Como não queremos, a princípio, a solução trivial, vem que:

c 1 = c 2

Daí:

u x , t = c 1 e - α 2 k t e α x + e - α x

Vamos agora aplicar a outra condição de fronteira:

u L , t = c 1 e - α 2 k t e α L + e - α L = 0

Para isso ser verdade é necessário que:

c 1 = 0  

Mas, se c 1 = 0 , temos:

u x , t = 0 ⋅ e - α 2 k t e α x + e - α x  

= 0  

Portanto, u ( x , t ) é a função nula!

Isso é exatamente o que queríamos provar 😊

Pegaram a ideia? Até a próxima pessoal!

Resposta

Resposta no texto.

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