Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

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Enunciado

Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40   c m cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0 ° C para todo t > 0 .

Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u ( x , t ) se a distribuição inicial de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique. Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1 .

a )   u x , 0 = x ,     0 ≤ x < 20 ; 40 - x ,     20 ≤ x ≤ 40

Passo 1

E aí galerinha, tudo bem?

Temos aqui um probleminha das nossas famosas EDP: equação diferencial parcial, mais especificamente, a equação do calor.

O enunciado não deu pra gente o problema bonitinho com a equação diferencial e as condições de fronteira. Mas, tem algumas informações no enunciado que vão nos ajudar a modelar o problema.

A primeira coisa é que se trata de um problema de equação de calor, onde a constante vale 1 .

O problema da equação do calor (que é basicamente a temperatura ao longo de uma barra), é dado de forma genérica por:

u t - α 2 u x x = 0

Como foi dito pelo enunciado que a constante vale 1 , podemos escrever a EDP como:

u t - u x x = 0

Já sobre a condição de fronteira, o enunciado afirma que as extremidades da barra são mantidas à temperatura de 0 ° C . Então, temos:

u 0 , t = u 40 , t = 0

Perfeito!

Juntando isso com a nossa condição inicial, podemos montar o nosso problema completo como:

u t - u x x = 0 u 0 , t = u 40 , t = 0 u x , 0 = h ( x ) ,     0 ≤ x ≤ 40

onde:

h x = x ,     0 ≤ x < 20 ; 40 - x ,     20 ≤ x ≤ 40

Muito bom, gente! Agora que montamos o problema, vamos resolvê-lo 😉

Passo 2

Pra resolver esse tipo de Equação, usamos o método da separação de variáveis. Daí, fazendo:

u x , t = f x g ( t )

E, substituindo na EDP, vem:

f x g ' t - g t f ' ' x = 0

∴ f ' ' x f x = g ' t g t

A única forma da razão dessas funções serem sempre iguais, independente do valor de x e de t , é se tivermos:

f ' ' x f x = g ' t g t = λ

onde λ é uma constante.

Assim, reduzimos o nosso problema a duas EDO’s:

f ' ' x - λ f x = 0 f 0 = f 40 = 0

E:

g ' t - λ g t = 0 g 0 = x

Começando pelo primeiro problema, temos:

f ' ' x - λ f x = 0

Temos a seguinte equação característica:

r 2 - λ = 0

Daí precisamos analisar os possíveis valores de λ :

- Se λ > 0 , então:

r = ± λ

f x = c 1 e - λ x + c 2 e �� x

Testando as condições iniciais:

f 0 = c 1 + c 2 = 0

f 40 = c 1 ⋅ e - λ ⋅ 40 - c 1 e λ ⋅ 40 = 0

Logo:

c 1 = c 2 = 0

Ou seja, nos deu a solução trivial, que não estamos interessados...

- Se λ = 0 , então:

r = 0

∴ f x = c 1 + c 2 x

Colocando as condições iniciais:

f 0 = c 1 = 0

E:

f 40 = 40 c 2 = 0

∴ c 1 = c 2 = 0

Ou seja, também tempos apenas a solução trivial...

- Se λ < 0 , então:

f x = c 1 cos ⁡ - λ x + c 2 s e n - λ x

Pela condição inicial:

f 0 = c 1 = 0

Logo:

f 40 = c 2 s e n 40 - λ = 0

Como não queremos a solução trivial, devemos ter:

s e n 40 - λ = 0

∴ 40 - λ = n π

⇒ λ = - n 2 π 2 40 2

Daí, desconsiderando a constante c 2   ( c 2 = 1 ) , temos que as autofunções são:

f n x = s e n n π x 40 ,     n = 1,2 , 3 , …

Perfeito!

Passo 3

Então pessoal, podemos agora substituir os autovalores λ que encontramos no problema da EDO em g :

g ' t - λ g t = 0 g 0 = h ( x )

Da primeira equação, já temos:

g t = e λ t

Daí, substituindo:

λ = �� - n 2 π 2 40 2

Temos:

g n t = e - n 2 π 2 40 2 t ,               n = 1,2 , 3 , …

Logo, lembrando que:

u x , t = f x ⋅ g ( t )

Temos:

u n x , t = e - n 2 π 2 40 2 t ⋅ s e n n π x 40

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO em x e à EDO em t . Pela própria definição de autofunções, múltiplos dessa solução ou combinação lineares de soluções desse tipo também satisfazem às EDO’s.

É aí que entra a nossa solução formal, ela representa a forma geral de todas as soluções da nossa EDP. Escrevemos:

u x , t =   ∑ n = 1 ∞ b n ⋅ e - n 2 π 2 40 2 t ⋅ s e n n π x 40  

Perfeito!

Passo 4

Massa! Já encontramos a solução formal, mas ainda temos um pequeno problema...

Não usamos a condição:

u x , 0 = h x = x ,     0 ≤ x < 20 ; 40 - x ,     20 ≤ x ≤ 40

em nenhum momento da solução. Então, a solução formal que encontramos ainda precisa atender também a essa condição. Daí, fazendo t = 0 na solução formal, encontramos:

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n ⋅ s e n n π x 40 = h ( x )

Isso lembra algo a vocês?

É como se tivéssemos uma função:

h x = x ,     0 ≤ x < 20 ; 40 - x ,     20 ≤ x ≤ 40      

E, quiséssemos encontrar a série de Fourier dela apenas em senos.

Uaaaau, essa sacada é boa né? Vale a pena anotar haha

Daí, quem seriam os coeficientes b n ? Seriam justamente os coeficientes da nossa expansão de h ( x ) em série de Fourier.

b n = 2 L ∫ 0 L h x s e n n π x L d x ,           L = 40

Mas, antes de calcularmos b n precisamos expandir o intervalo de h de modo que ela seja ímpar e periódica de período 2 L = 2 ⋅ 40 = 80 .

Tranquilo, então como queremos que h seja ímpar e periódica podemos defini-la como:

h x =   40 + x ,     - 20 ≤ x ≤ - 40 x ,     - 20 < x ≤ 0 x ,     0 ≤ x < 20 ; 40 - x ,     20 ≤ x ≤ 40

O enunciado nos pede pra perguntar se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos. Analisando essa definição vemos que ela é satisfeita para x = 40 . Os grandes candidatos a se tornarem um problema nesse tipo de situação são os pontos da extremidade. Pois, como a função é periódica, mas não necessariamente contínua, pode ser necessário definir os pontos da extremidade diferente do restante.

Mas, nesse caso, temos:

h 0 = h 40 = 0

Então, está tudo bem 😊

Tranquilo?

Perfeito! Assim temos h ímpar e periódica, de período 2 ⋅ 40 .

Logo, temos que:

b n = 2 L ⋅ ∫ 0 L h ( x ) ⋅ s e n n π x L d x

Como f ( x ) é definida por partes, precisamos separar a integral nos respectivos intervalos da definição de f . Assim, vamos ficar com:

b n = 2 40 ⋅ ∫ 0 20 x s e n n π x 40 + ∫ 20 40 40 - x s e n n π x 40 d x

= 1 20 ⋅ ∫ 0 20 x s e n n π x 40 - ∫ 20 40 x s e n n π x 40 d x + 40 ∫ 20 40 s e n n π x 40 d x

Temos 3 integrais pra resolver! Vamos matar cada uma delas 😊

Passo 5

Como as integrais:

∫ 0 20 x s e n n π x 40

E:

∫ 20 40 x s e n n π x 40 d x

São muito parecidas, mudam apenas os limites de integração. Vamos resolver a integral:

∫ a b x s e n n π x L d x

E, no final substituímos os limites de integração em cada uma delas.

Pra resolver essa integral precisamos usar o método de integração por partes. Bora dar uma revisada nele:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, fazendo:

u = x d v = s e n n π x L

Logo, temos:

∫ a b x s e n n π x L d x = x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L a b + L n π ⋅ ∫ a b cos ⁡ n π x L d x

= x L n π ⋅ - cos ⁡ n π x L a b + L n π ⋅ L n π ⋅ s e n n π x L a b

Aí, no caso da primeira integral, temos:

a = 0

b = 20

L = 40

Vamos ficar com:

∫ 0 20 x s e n n π x 40 = 40 x n π ⋅ - cos ⁡ n π x 40 0 20 + 40 n π ⋅ 40 n π ⋅ s e n n π x 40 0 20

Substituindo os limites de integração:

∫ 0 20 x s e n n π x 40 = 20 ⋅ 40 n π ⋅ - cos ⁡ n π 2 + 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Beleza, por enquanto deixamos assim.

No caso da segunda integral:

a = 20

b = 40

L = 40

Então:

∫ 20 40 x s e n n π x 40 d x = 40 x n π ⋅ - cos ⁡ n π x 40 20 4 0 + 40 n π ⋅ 40 n π ⋅ s e n n π x 40 20 4 0

= - 40 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + 20 ⋅ 40 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 - 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Beleza! Então já matamos as duas integrais mais cabeludas!

Por fim, precisamos resolver:

∫ 20 40 s e n n π x 40 d x = 40 n π ⋅ - cos ⁡ n π x 40 20 40

Substituindo os limites de integração:

= 40 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 - cos ⁡ n π

Show de bola!

Passo 6

Voltando para b n :

b n = 1 20 ⋅ ∫ 0 20 x s e n n π x 40 - ∫ 20 40 x s e n n π x 40 d x + 40 ∫ 20 40 s e n n π x 40 d x

Substituindo os resultados que encontramos no item anterior, vamos ter:

b n = 20 ⋅ 40 n π ⋅ - cos ⁡ n π 2 + 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

- - 40 2 n π ⋅ cos ⁡ n π + 20 ⋅ 40 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 - 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2  

+   40 2 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 - cos ⁡ n π

Simplificando um pouco alguns termos que aparecem em comum, temos:

b n = - 40 2 n π ⋅ cos ⁡ n π 2 + 2 ⋅ 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2 + 40 2 n π ⋅ cos ⁡ n π 2

Logo:

b n =   2 ⋅ 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Daí, se n for par:

b n = 0

Se n for ímpar:

b n =   2 ⋅ 40 2 n 2 π 2 ⋅ s e n n π 2

Podemos então finalmente substituir b n na nossa solução formal para encontrarmos a solução do problema pedido respeitando a EDF, condições de fronteira, e condições iniciais.

u x , t =   ∑ n = 1 ∞   2 ⋅ 40 2 ( 2 n - 1 ) 2 π 2 ⋅ s e n ( 2 n - 1 ) π 2 ⋅ e - ( 2 n - 1 ) 2 π 2 40 2 t ⋅ s e n ( 2 n - 1 ) π x 40

(trocamos n por 2 n - 1 pois os coeficientes b n para n par são nulos).

Ufaaaaaaa!! Nossa, parecia que não ia acabar nuncaaa!!

Mas terminamos pessoal!

Muito obrigado pela atenção de vocês, esperam que todos tenham entendido supeeeer bem 😉

Resposta

u x , t =   ∑ n = 1 ∞   2 ⋅ 40 2 ( 2 n - 1 ) 2 π 2 ⋅ s e n ( 2 n - 1 ) π 2 ⋅ e - ( 2 n - 1 ) 2 π 2 40 2 t ⋅ s e n ( 2 n - 1 ) π x 40

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