Exercícios Resolvidos de Modelagem com Equação do Calor

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 330. Exercício 15 adaptado.

Considere uma barra uniforme de comprimento L , com distribuição inicial de temperatura f ( x ) , 0 ≤ x ≤ L . Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida a 0 o C , enquanto a extremidade x = L está isolada, de modo que não há fluxo de calor através dela.

Encontre uma expansão em série para a temperatura u ( x , t ) da barra em função de f ( x ) .

Passo 1

Primeiro, temos que escrever matematicamente o que o problema nos deu.Temos a equação de calor:

α 2 u x x = u t           0 < x < L ,     t > 0

E a temperatura inicial

u x , 0 = f x   0 ≤ x ≤ L

O problema diz também que a temperatura em x = 0 é fixada em zero:

u 0 , t = 0

E a outra extremidade está isolada, portanto:

u x L , t =     0                       t > 0

Como o problema não deu o valor de f ( x ) , já sabemos que a solução deve estar em função dessa condição, né?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos fazer a separação de variáveis. Procuramos uma solução do tipo

  u x , t = X x ⋅ T ( t )

Como essa solução deve satisfazer à equação de calor, temos:

α 2 X ' ' x ⋅ T t = X x ⋅ T ' t

Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem x e do outro tudo que tem t :

X ' ' x X x = 1 α 2 T ' t T t

Como essa igualdade deve valer para todo x e para todo t e essas variáveis são independentes, sabemos que essas frações são iguais a uma constante:

X ' ' x X x = 1 α 2 T ' t T t = - λ

Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:

X ' ' + λ X = 0 T ' + α 2 λ T = 0

Repara nos dados que o problema deu, vamos reescrevê-los usando a separação de variáveis u x , t = X x ⋅ T ( t ) :

u 0 , t = 0         →           X 0 ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X 0 = 0

Veja que se T t = 0 , isso implica que u x , t = X x . 0 = 0 , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter X ( 0 ) = 0 . O mesmo ocorre aqui:

u x L , t = 0         →           X ' L ⋅ T t ⏟ ≠ 0 = 0           →       X ' L = 0

Passo 3

Resolver o problema de contorno. Nós vamos encontrar o X ( x ) e o T ( t ) um de cada vez e, assim, encontrar u ( x , t ) . Temos duas EDO’s para resolver, uma na variável x e a outra na t , qual resolver primeiro? A que tiver condições de contorno, sempre!

X ' ' + λ X = 0

X 0 = 0

X ' L = 0

Bom, esse problema não é nenhum conhecido, né? Temos uma mistura das condições de Dirichlet com as de Neumann homogêneas, ou seja: um problema qualquer. Bom, vamos resolver então o problema de valor de contorno.

A primeira coisa que vamos fazer é escrever a equação característica:

r 2 + λ = 0

r = ± - λ

Como não sabemos o valor de λ , temos que analisar o problema para cada caso de e depois juntar as respostas que encontrarmos.

Caso 1: ∆ > 0 , o que nos dá λ < 0 . Nesse caso, as soluções são do tipo:

X x = c 1 e - λ x + c 2 e - - λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: y 0 = 0 y ' L = 0 . Temos:

X ' ( x ) = c 1 - λ e - λ x - c 2 - λ e - - λ x

y 0 = c 1 + c 2 = 0

X ' L = c 1 - λ e L - λ - c 2 - λ e - L - λ = 0

Isso nos dá

c 1 = - c 2

Aqui temos o mesmo raciocínio:

c 1 ( - λ e L - λ - - λ e - L - λ ) ⏟ ≠ 0 = 0

c 1 = 0

c 2 = - c 1 = 0

Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos

X x = 0

Mas isso não nos ajuda em nada. Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, ∆ > 0 , não nos dá soluções para a EDO.

Caso 2: ∆ = 0 , o que nos dá λ = 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 + c 2 x

Agora vamos usar as condições de contorno: X ' 0 = 0 e X ' L = 0

X ' x = c 2

X 0 = c 1 = 0

X ' ( L ) = c 2 = 0

Bom, temos novamente apenas a solução trivial, não é? Vamos para o próximo caso agora!

Caso 3: ∆ < 0 . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, λ > 0 . As soluções são do tipo:

X x = c 1 e α cos ⁡ β x + c 2 e α x sen ⁡ β x

Substituindo r = ± - λ = 0 ± i λ

X x = c 1 cos ⁡ λ x + c 2 sen ⁡ λ x

Agora vamos usar as condições de contorno: y 0 = 0 y ' L = 0 . Temos:

X ' ( x ) = - c 1 λ sen ⁡ λ x + c 2 λ cos ⁡ λ x

X ( 0 ) = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 sen ⁡ 0 = 0

X ' L = - c 1 λ sen ⁡ L λ + c 2 λ cos ⁡ L λ = 0

Isso nos dá

c 1 = 0

c 2 ⏟ ≠ 0 cos ⁡ L λ = 0

Agora vamos com calma! Se tivermos c 2 = 0 , a solução é a trivial X x = 0 , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o cosseno seja zero.

cos ⁡ π λ = 0

Isso ocorre quando:

L λ = n π - π 2             n = 1,2 , 3 …

λ = 2 n π - π 2 L

λ n = 2 n π - π 2 L 2

Então, para o 3º caso, a solução geral é:

X n x = sen ⁡ 2 n π - π 2 L x                 n = 1,2 , 3 …

Passo 4

Tendo o valor de λ n , resolver a outra EDO e achar a solução fundamental u n ( x , t )

Agora precisamos resolver o problema em t , não é? Temos a seguinte EDO do 1º grau:

T ' + α 2 λ T = 0

Como nós sabemos, a solução dessa EDO é:

T t = e - α 2 λ t

Substituindo λ :

T n t = e - 2 n π - π 2 L 2 α 2 t      

Sabendo que u x , t = X x . T ( t ) , podemos escrever:

u n x , t = sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L   e - 2 n π - π 2 L 2 α 2 t                 n = 1,2 , 3 …

Passo 5

Escrever u ( x , t ) como série e achar os coeficientes da série

Bom, esse u n que encontramos é uma fórmula geral de soluções que atendem à nossa EDO, sabemos que combinações lineares dessas soluções também satisfazem a EDO.

Então, podemos escrever o seguinte:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L   e - 2 n π - π 2 L 2 α 2 t        

Uma série infinita nada mais é do que uma combinação linear de infinitos termos, não é? Beleza, agora temos que achar esse b n de forma que a nosssa solução atenda à seguinte condição do problema, que ainda não usamos:

u x , 0 = f ( x )        

Veja que, substituindo t = 0 na série, temos u ( x , 0 ) :

u x , 0 = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L     = f ( x )  

Então, podemos entender essa série como uma representação por Série de Fourier de senos da função f ( x ) . Fazendo uma extensão ímpar de f ( x ) , temos, então:

b n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L d x

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L   e - 2 n π - π 2 L 2 α 2 t        

Onde

b n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sen ⁡ 2 n π x - π x 2 L d x

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