Exercícios Resolvidos de Pivoteamento

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Enunciado

Resolva o seguinte sistema de equações lineares

x + y + z = 0

x + 10 z = - 48

10 y + z = 2 5

Usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial (não use o computador para resolver essa questão).

Passo 1

Com esse sistema linear, conseguimos construir essas matrizes:

1 1 1 1 0 10 0 10 1 x y z = 0 - 48 25

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

1 1 1 1 0 10 0 1 0 1 0 - 48 25

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

Como o maior elemento da primeira coluna é o 1 , não precisamos mudar nossa matriz pelo pivoteamento. Mas podemos trocar a segunda e a terceira linhas:

L 2 ↔ L 3

1 1 1 0 1 0 1 1 0 10 0 25 - 48

Agora, vamos zerar o primeiro elemento da terceira linha só:

L 3 ← L 3 - L 1 :

1 1 1 0 10 1 0 - 1 9 0 25 - 48

Novamente, não será necessário aplicar o pivoteamento parcial, pois o maior elemento da segunda coluna já é o próximo pivô:

1 1 1 0   10 1 0 - 1 9 0 25 - 48

L 3 ← L 3 + 1 10 L 2 :

1 1 1 0 10 1 0 0 9,1 0 25 - 45,5

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

x + y + z = 0 10 y + z = 25 9,1 z = - 45,5       I I I I I I

De I I I :

z = - 5

Substituindo z em I I :

10 y - 5 = 25

y = 3

Substituindo y e z em I :

x + 3 - 5 = 0

x = 2

Logo, ficamos com:

x , y , z = 2 ,   3 ,   - 5

Resposta

x , y , z = 2 ,   3 ,   - 5

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