Exercícios Resolvidos de Pivoteamento

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Enunciado

Resolva o sistema abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento completo e aritmética de ponto flutuante com 3 dígitos na mantissa e truncamento:

3.03 x 1 - 12.1 x 2 + 14 x 3 = - 119 - 3.03 x 1 + 12.1 x 2 - 7 x 3 = 120 6.11 x 1 - 14.2 x 2 + 21 x 3 = - 139

Solução exata: 0,10 , 1 7

Passo 1

Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

3.03 - 12.1 14 - 3.03 12.1 - 7 6.11 - 14.2 21 - 119 120 - 139

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento completo:

L 1 ↔ L 3 :

6.11 - 14.2 21 - 3.03 12.1 - 7 3.03 - 12.1 14 - 139 120 - 119

C o l u n a   1   ↔ C o l u n a   3 :

21 - 14.2 6.11 - 7 12.1 - 3.03 14 - 12.1 3.03 - 139 120 - 119

L 2 ← L 2 - - 7 21 L 1 :

21 - 14.2 6.11 0 7.36 - 0.993 14 - 12.1 3.03 - 139 73.6 - 119

L 3 ← L 3 - 14 21 L 1 :

21 - 14.2 6.11 0 7.36 - 0.993 0 - 2.63 - 1.04 - 139 73.6 - 26.3

Já está pivoteado então menos trabalho pra gente!

L 3 ← L 3 - - 2.63 7.36 L 2 :

21 - 14.2 6.11 0 7.36 - 0.993 0 0 - 1.39 - 139 73.6 - 0.0248

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema. Lembrando que trocamos as colunas lá no começo!

21 x 3 - 14.2 x 2 + 6.11 x 1 = - 139 7.36 x 2 - 0.993 x 1 = 73.6 - 1.39 x 1 = - 0.0248       I I I I I I

De I I I :

x 1 = 0.0178

De I I :

7.36 x 2 - 0.993 ∙ 0.0178 = 73.6

7.36 x 2 = 73.6

x 2 = 10

De I :

21 x 3 - 14.2 ∙ 10 + 6.11 ∙ 0.0178 = - 139

21 x 3 = 2.00

x 3 = 0.0952

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 0.0178,10,0.0952

O x 1 ficou bastante distante do zero, mas levando em conta que estamos apenas com 3 dígitos na mantissa provavelmente não foi tão ruim haha. O x 2 deu certinho. O maior problema foi no x 3 mesmo que deu aproximadamente 1.5 vezes menor que o que deveria.

Resposta

x 1 , x 2 , x 3 = 0.0178,10,0.0952

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