Exercícios Resolvidos de Pivoteamento

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Enunciado

Resolva os sistemas abaixo utilizando o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:

a 5 x 1 + x 2 - 6 x 3 = 7 2 x 1 + x 2 - x 3 = 8 6 x 1 + 12 x 2 + x 3 = 9

b x 1 - x 2 + x 3 = 5 7 x 1 + 5 x 2 - x 3 = 8 2 x 1 + x 2 + x 3 = 7

Passo 1

a Começamos passando para a forma de matriz aumentada:

5 1 - 6 2 1 - 1 6 12 1 7 8 9

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 3 :

6 12 1 2 1 - 1 5 1 - 6 9 8 7

L 2 ← L 2 - 2 6 L 1 :

6 12 1 0 - 3 - 4 3 5 1 - 6 9 5 7

L 3 ← L 3 - 5 6 L 1 :

6 12 1 0 - 3 - 1.333 0 - 9 - 6.833 9 5 - 0.5

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 2 ↔ L 3 :

6 12 1 0 - 9 - 6.833 0 - 3 - 1.333 9 - 0.5 5

L 3 ← L 3 - - 3 - 9 L 2 = L 3 - 1 3 L 2 :

6 12 1 0 - 9 - 6.833 0 0 0.944 9 - 0.5 5.167

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

6 x 1 + 12 x 2 + x 3 = 9 - 9 x 2 - 6.833 x 3 = - 0.5 0.944 x 3 = 5.167       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 5.471

De I I :

- 9 x 2 - 6.833 ∙ 5.471 = - 0.5

- 9 x 2 = 36.882

x 2 = - 4.098

De I :

6 x 1 + 12 ∙ - 4.098 + 5.471 = 9

6 x 1 = 52.706

x 1 = 8.784

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 8.784 , - 4.098,5.471

Passo 4

b Passando para a forma de matriz aumentada:

1 - 1 1 7 5 - 1 2 1 1 5 8 7

Passo 5

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

7 5 - 1 1 - 1 1 2 1 1 8 5 7

L 2 ← L 2 - 1 7 L 1 :

7 5 - 1 0 - 1 . 714 1 . 143 2 1 1 8 3.857 7

L 3 ← L 3 - 2 7 L 1 :

7 5 - 1 0 - 1.714 1.143 0 - 0.429 1.286 8 3.857 4.714

Já ta pivoteado! Continuamos com a eliminação.

7 5 - 1 0 - 1.714 1.143 0 - 0.429 1.286 8 3.857 4.714

L 3 ← L 3 - - 0.429 - 1.714 L 2 = L 3 - 0.25 L 2 :

7 5 - 1 0 - 1.714 1.143 0 0 1 8 3.857 3.749

Passo 6

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

7 x 1 + 5 x 2 - x 3 = 8 - 1.714 x 2 + 1.143 x 3 = 3.857 x 3 = 3.749       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 3.749

De I I :

- 1.714 x 2 + 1.143 ∙ 3.749 = 3.857

- 1.714 x 2 = - 0.428

x 2 = 0.25

De I :

7 x 1 + 5 ∙ 0.25 - 3.749 = 8

7 x 1 = 10.5

x 1 = 1.5

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 1.5,0.25,3.749

Resposta

a   x 1 , x 2 , x 3 = 8.784 , - 4.098,5.471

b x 1 , x 2 , x 3 = 1.5,0.25,3.749

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