Exercícios Resolvidos de Pivoteamento

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Enunciado

Seja o seguinte sistema linear:

    2 y + 5 z = 9 x - 3 y + z = 5 2.1 x + y + z = 3

É possível resolvê-lo usando o método de Gauss? Justifique sua resposta. No caso afirmativo aplique o algoritmo, caso contrário use o método de Gauss com pivoteamento parcial.

Passo 1

Claramente não podemos usar o método de Gauss né? Se usássemos teríamos o 0 como primeiro pivô. E o primeiro multiplicador ficaria:

m = 1 0

O que é indeterminado né! Vamos aplicar então o método de Gauss com pivoteamento parcial. Passando para a forma matricial:

0 2 5 1 - 3 1 2.1 1 1 9 5 3

Passo 2

Fase 1 – Eliminação:

Aplicando o pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 3 :

2.1 1 1 1 - 3 1 0 2 5 3 5 9

L 2 ← L 2 - 1 2.1 L 1 :

2.1 1 1 0 - 3.476 0.524 0 2 5 3 3.571 9

Já está pivoteado ;)

L 3 ← L 3 - 2 - 3.476 L 2 :

2.1 1 1 0 - 3.476 0.524 0 0 5.301 3 3.571 11.055

Passo 3

Fase 2Retrosubstituição:

Passando para a forma de sistema:

2.1 x 1 + x 2 + x 3 = 3 - 3.476 x 2 + 0.524 x 3 = 3.571 5.301 x 3 = 11.055       I I I I I I

De I I I :

x 3 = 2.085

De I I :

- 3.476 x 2 + 0.524 ∙ 2.085 = 3.571

- 3.476 x 2 = 2.479

x 2 = - 0.713

De I :

2.1 x 1 - 0.713 + 2.085 = 3

2.1 x 1 = 1.628

x 1 = 0.775

Logo, ficamos com:

x 1 , x 2 , x 3 = 0.775 , - 0.713,2.085

Resposta

x 1 , x 2 , x 3 = 0.775 , - 0.713,2.085

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