Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x , y , z = ( x 1 2 y 3 ) / z 2 . Calcular o valor da integral tripla da função f ( x , y , z ) em relação às variáveis x , y , e z onde x varia no intervalo [ 1,3 ] , y varia no intervalo [ 2,5 ] e z varia no intervalo [ 3,4 ] .

(a) 203 3 / 6

(b) 203 3 / 8

(c) 203 ( 3 3 - 1 ) / 24  

(d) 203 ( 3 3 - 2 ) / 24

(e) 203 ( 2 3 - 3 ) / 24

Passo 1

Vamos começar montando essa integral. Todos os limites de integração são constantes, mas cuidado para não errar a ordem dos diferenciais!

∫ 3 4 ∫ 2 5 ∫ 1 3 x 1 2 y 3 z 2   d x   d y   d z

Passo 2

Agora vamos resolver essa integral.

Quando estamos integrando o x , por exemplo, tanto o y quanto o z são considerados constantes, e assim por diante para as outras variáveis. Então vamos tirar as “constantes” de dentro da integral:

∫ 3 4 1 z 2 d z ∫ 2 5 y 3 d y ∫ 1 3 x 1 2   d x

Beleza, agora a situação fica muito mais simples! Podemos simplesmente calcular três integrais e multiplicar os resultados!

Passo 3

Vamos começar resolvendo as integrais indefinidas:

∫ 1 z 2 d z = - 1 z + C

E quando z varia de 3 até 4 :

∫ 3 4 1 z 2 d z = - 1 4 - - 1 3 = 1 3 - 1 4 = 4 12 - 3 12 = 1 12

A segunda integral é:

∫ y 3   d y = y 4 4 + C

E quando y vai de 2 até 5 :

∫ 2 5 y 3   d y = 5 4 4 - 2 4 4 = 625 4 - 16 4 = 609 4

A terceira integral é:

∫ x 1 2 d x = 2 3 x 3 / 2 + C

E quando x varia de 1 até 3 :

∫ 1 3 x 1 2   d x = 2 3 3 3 2 - 1 3 2 = 2 3 27 - 1

Passo 4

Agora é só multiplicar esses três resultados:

∫ 3 4 1 z 2 d z ∫ 2 5 y 3 d y ∫ 1 3 x 1 2   d x

2 3 27 - 1 609 4 1 12 = 1218 144 27 - 1 = 203 24 ( 27 - 1 )

E como 27 = 3.3 . 3 = 3 3 :

203 24 27 - 1 = 203 24 ( 3 3 - 1 )

Resposta

Letra (c).

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde, E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla.
Calcule a integral tripla.