Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Assuma V 3 orientado e considere coordenadas de pontos dadas em relação a um sistema de coordenadas fixado em E 3 de base ortonormal e positiva.

Seja π o plano de equação x + y - z + 2 = 0 , e seja r a reta de equações x - 2 - 1 = y - 1 2 = z + 1 3 . Se o ponto de intersecção de r e π é o ponto médio do segmento P Q , em que P = - 2,1 , 0 e Q = a , b , c , então a + b + c é igual a

a) 29

b) 28

c) 25

d) 23

e) 24

f) 27

g) 22

h) 26

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo certinho? Vamos ler juntos esse enunciado

Temos o plano π : x + y - z + 2 = 0 e as equações simétricas da reta r : x - 2 - 1 = y - 1 2 = z + 1 3

E aí eles vão se encontrar em um ponto que vamos chamar de M . Esse ponto M , de acordo com o enunciado, é o ponto médio do segmento P Q , onde

P = - 2,1 , 0

Q = a , b , c

Enfim, o que queremos encontrar é a soma das coordenadas do ponto Q , ou seja, queremos a + b + c

Esse exercício vai ser mais simples do que parece. Como M é o ponto médio de P Q , temos que

M = P + Q 2 = - 2,1 , 0 + ( a , b , c ) 2

Então, vamos começar encontrando a intersecção de π e r . Esse vai ser o ponto M . Então é só substituirmos o ponto M nessa relação aí em cima, e vamos conseguir encontrar a , b , c , fechou?

Vamos lá!

Passo 2

Pra começar, vamos encontrar o ponto M . Ele vai ser a intersecção do plano π com a reta r

π : x + y - z + 2 = 0

r : x - 2 - 1 = y - 1 2 = z + 1 3

Antes de qualquer coisa, vamos escrever a reta no formato vetorial. Vendo as equações simétricas acima, sabemos que a reta passa pelo ponto 2,1 , - 1 e tem vetor diretor - 1,2 , 3 . Logo, ela pode ser escrita assim:

r : X = 2,1 , - 1 + λ . - 1,2 , 3

Então, um ponto genérico dessa reta pode ser escrito assim

X = 2 - λ , 1 + 2 λ , - 1 + 3 λ

Show! Mas queremos a intersecção dessa reta com o plano π . Bom, se o ponto vai pertencer à reta, ele vai ter o formato ( x , y , z ) = 2 - λ , 1 + 2 λ , - 1 + 3 λ . E se ele vai pertencer ao plano também, ele vai cumprir com x + y - z + 2 = 0 .

Então, o ponto de intersecção M é o ponto da reta onde λ cumpre com:

2 - λ + 1 + 2 λ - - 1 + 3 λ + 2 = 0

(só substituímos as coordenadas do ponto na equação do plano ok?)

Então vamos lá encontrar quem é o ponto M

Passo 3

Temos

2 - λ + 1 + 2 λ - - 1 + 3 λ + 2 = 0

2 + 1 + 1 - λ + 2 λ - 3 λ + 2 = 0

6 - 2 λ = 0

λ = 3

Então, no ponto de intersecção entre a reta e o plano, vamos ter λ = 3

Substituindo na equação da reta:

r : X = 2,1 , - 1 + λ . - 1,2 , 3

M = 2,1 , - 1 + 3 . - 1,2 , 3

M = 2,1 , - 1 + - 3,6 , 9

Então

M = ( - 1,7 , 8 )

Opaaa, então já temos o ponto de intersecção entre a reta e o plano! Vai ser o ponto M = - 1,7 , 8

Agora só precisamos lembrar que esse é o ponto médio do segmento P Q

Passo 4

Como vimos lá no passo 1, o ponto M vai cumprir:

M = P + Q 2 = - 2,1 , 0 + ( a , b , c ) 2

Afinal, ele é o ponto médio do segmento P Q

Então

- 1,7 , 8 = - 2,1 , 0 + ( a , b , c ) 2

- 1,7 , 8 = ( a - 2 , b + 1 , c ) 2

a - 2 , b + 1 , c = 2 ∙ - 1,7 , 8

a - 2 , b + 1 , c = ( - 2,14,16 )

Igualando as coordenadas:

a - 2 = - 2 b + 1 = 14 c = 16

Da primeira equação, temos que a = 0

Da segunda equação, temos b = 13

Da terceira equação, temos c = 16

Portanto

a + b + c = 0 + 13 + 16 = 29

E então a alternativa correta é a letra A :P

Resposta

a) 29

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t - 1 , - 1 , - 1 , t ∈R , descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Representar graficamente os planos de equações:3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0