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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Estude a posição relativa dos planos:

π 1 : X = 1 ,   0 ,   1 + λ 1 ,   1 ,   1 + µ 0 ,   1 ,   0

  π 2 : X = 0 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   0 ,   1 + µ - 1 ,   0 ,   3

Passo 1

Já sabemos que vamos precisar passar a equação dos plano para forma geral, mas antes disso, vamos retirar os dados:

π 1 : A = ( 1 ,   0 ,   1 ) v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) u → = ( 0 ,   1 ,   0 )           e                   π 2 : B = ( 0 ,   0 ,   0 ) r → = ( 1 ,   0 ,   1 ) s → = ( - 1 ,   0 ,   3 )

Montando e resolvendo o produto misto para achar a equação geral de cada plano temos:

Para   π 1 :

A P → ,   v → ,   u → = x - 1 y z - 1 1 1 1 0 1 0 = z - 1 - x - 1 = 0

π 1 : - x + z = 0

Para   π 2 :

B P → ,   r → ,   s → = x y z 1 0 1 - 1 0 3 = - y - 3 y = 0

π 2 :   y = 0

Agora, que temos todos os coeficientes podemos comparar os planos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( - 1 ,   0 ,   1 ,   0 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 0 ,   1 ,   0 ,   0 )

Se   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 ) então os planos são paralelos coincidentes. Pelos coeficientes que temos:

- 1 ,   0 ,   1 ,   0 = α ( 0 ,   1 ,   0 ,   0 )

Abrindo isso,

- 1 = 0 α 0 = 1 α 1 = 0 α 0 = 0 α

Como nenhum dos coeficientes são proporcionais, os planos são transversais!

Resposta

os planos são transversais!

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