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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Determinar m de modo que os planos

π 1 : 2 m x + 2 y - z = 0       e     π 2 : 3 x - m y + 2 z - 1 = 0

sejam perpendiculares.

Passo 1

Temos como dados a equação geral de cada um dos planos. Mas, devemos determinar m de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares. Para isso, vimos na teoria que:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Mas, quem são n 1 → e n 2 → ? São os vetores normais aos planos. Que conseguimos retirar suas coordenadas das equações gerais dos planos.

Passo 2

Retirando os dados, temos:

n 1 → = ( 2 m ,   2 ,   - 1 )

n 2 → = ( 3 ,   - m ,   2 )

Para que os planos sejam perpendiculares devemos forçar que:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Substituindo os valores:

2 m ,   2 ,   - 1 ∙ 3 ,   - m ,   2 = 0

Resolvendo, temos:

6 m - 2 m - 2 = 0 → m = 1 2

Resposta

m = 1 2

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