Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Determinar m de modo que os planos

π 1 : 2 m x + 2 y - z = 0       e     π 2 : 3 x - m y + 2 z - 1 = 0

sejam perpendiculares.

Passo 1

Temos como dados a equação geral de cada um dos planos. Mas, devemos determinar m de modo que os planos π 1 e π 2 sejam perpendiculares. Para isso, vimos na teoria que:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Mas, quem são n 1 → e n 2 → ? São os vetores normais aos planos. Que conseguimos retirar suas coordenadas das equações gerais dos planos.

Passo 2

Retirando os dados, temos:

n 1 → = ( 2 m ,   2 ,   - 1 )

n 2 → = ( 3 ,   - m ,   2 )

Para que os planos sejam perpendiculares devemos forçar que:

n 1 → ∙ n 2 → = 0

Substituindo os valores:

2 m ,   2 ,   - 1 ∙ 3 ,   - m ,   2 = 0

Resolvendo, temos:

6 m - 2 m - 2 = 0 → m = 1 2

Resposta

m = 1 2

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Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém A = ( 1 ,1 ,1 ) , B = ( 1 ,0 ,1 ) e C = ( 1 ,2 ,3 ) .b) π : x - 2 y + 4 z + 1 = 0 .c) π : X = 1 ,2 ,0 + λ1 ,- 1 ,1 + μ( 0 ,1 ,- 2 ) .
As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t - 1 , - 1 , - 1 , t ∈R , descrevem os movimentos de duas partículas. Determine o valor de α para que haja colisão. Em que instante ela ocorre?
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,- 2 ,0 + λ- 1 ,0 ,1 + μ( 0 ,0 ,- 1 ) .
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a intersecção dos planos π 1 : x - y + z + 1 = 0 e O y z . Determine m e obtenha uma equação geral de π .
Representar graficamente os planos de equações: 3 x + 4 y + 2 z - 12 = 0