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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Calcule m para que os planos:

π 1 : X = 1 ,   1 ,   0 + λ m ,   1 ,   1 + μ ( 1 ,   1 ,   m )

  π 2 : 2 x + 3 y + 2 z + 1 = 0

Sejam paralelos distintos.

Passo 1

Primeiro precisamos passar a equação do primeiro plano para a forma geral. Do enunciado, temos:

A = 1 ,   1 ,   0

u → = m ,   1 ,   1

v → = ( 1 ,   1 ,   m )

Montando o produto misto,

A P → ,   u → ,   v → = x - 1 y - 1 z m 1 1 1 1 m

m x - m + z m + y - 1 - y m 2 - m 2 + x - 1 + z = 0

x m - 1 + y 1 - m 2 + z m - 1 + m 2 - m = 0

Vamos guardar isso aí!

Passo 2

Para os planos serem paralelos distintos,   a 1 ,   b 1 , c 1 = α a 2 ,   b 2 , c 2 . Do enunciado e do passo 1, tiramos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 = ( m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 = 2 ,   3 ,   2

Colocando na formulinha de paralelos distintos:

( m - 1 ,   1 - m 2 ,   m - 1 ) = α 2 ,   3 ,   2

Abrindo isso,

m - 1 = 2 α →   α = m - 1 2 1 - m 2 = 3 α →   α = 1 - m 2 3 m - 1 = 2 α →   α = m - 1 2

Como todos os “ α ' s ” precisam ser iguais, podemos igualar as equações!

m - 1 2 = 1 - m 2 3

3 m - 3 = 2 - 2 m 2

2 m 2 + 3 m - 5 = 0

Resolvendo por Báskara,

m = - 3 ± 3 2 - 4.2 . - 5 2.2

m = - 3 ± 7 4

m = 1   o u   m = - 5 2

Resposta

m = 1   o u   m = - 5 2

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