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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Mostre que os planos:

π 1 : X = 0 ,   0 ,   0 + λ - 1 , m ,   1 + μ ( 2 ,   0 ,   1 )

  π 2 : X = 1 ,   2 ,   3 + α m ,   1 ,   0 + β ( 1 ,   0 ,   m )

São transversais, para todo m ∈ R .

Passo 1

Primeiro precisamos passar a equação dos planos para a forma geral. Do enunciado, temos:

Para π 1 :

A = 0 ,   0 ,   0

u → = - 1 ,   m ,   1

v → = ( 2 ,   0 ,   1 )

Montando o produto misto,

A P → ,   u → ,   v → = x y z - 1 m 1 2 0 1

m x + 2 y - ( - y + 2 m z ) = 0

m x + 3 y - 2 m z = 0

Para π 2 :

B = 1 ,   2 ,   3

r → =   m ,   1 ,   0

s → = ( 1 ,   0 ,   m )

Montando o produto misto,

B P → ,   r → ,   s → = x - 1 y - 2 z - 3 m 1 0 1 0 m

m x - m - ( m 2 y - 2 m 2 + z - 3 ) = 0

m x - m 2 y - z + ( 2 m 2 - m + 3 ) = 0

Passo 2

Para os planos serem transversais,   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ≠ α a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 . Do passo 1, tiramos:

π 1 :     a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 = ( m ,   3 ,   - 2 m ,   0 )

π 2 :   a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = m ,   - m 2 ,   - 1 ,   2 m 2 - m + 3

Colocando na formulinha:

( m ,   3 ,   - 2 m ,   0 ) ≠ α m ,   - m 2 ,   - 1 ,   2 m 2 - m + 3

Abrindo isso,

m = m α →   α = 1   ( i ) 3 = - m 2 α →   α = 3 - m 2   ( i i ) - 2 m = - 1 α →   α = 2 m   ( i i i ) 0 = α 2 m 2 - m + 3 → α = 0   ( i v )

Agora precisamos provar todos esses “ α ' s ” serão diferentes (pois os planos precisam ser transversais), independente do valor de m !

De cara já vemos que os “ α ' s ” de ( i ) e ( i v ) serão diferentes, logos os planos nunca serão paralelos coincidentes.

Para os planos não serem paralelos distintos (para só sobrar a opção transversais), precisamos mostrar que os “ α ' s ( i i ) e ( i i i ) nunca serão iguais a 1 (que é o valor de α de ( i ) ).

Vamos tentar colocar α = 1 em ( i i ) e ( i i i ) :

1 = 3 - m 2 → m 2 = - 3 1 = 2 m → m = 1 2

Na primeira equação temos um número ao quadrado igual a um número negativo! Sabemos que isso terá um número complexo como resposta e, como estamos focando nos números reais, essa resposta não é válida! Logo   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ≠ α a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 irá ocorrer independente do valor de m e os planos serão sempre transversais!

Passo 3

Resposta

os planos serão sempre transversais!

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