Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

Ver Teoria

Enunciado

Decida quais das afirmações é verdadeira e qual é falsa. Justifique.

  1. O lugar geométrico dos pontos P x , y , z , tais que 2 x + y = 1 , é uma reta.
  2. Os planos ∏ 1 : a x + 4 y + z = 0 e ∏ 2 : 2 x + 3 y + 5 z + 7 = 0 , são transversais para todo valor de a ∈ R .
  3. A distância do ponto 1,0 , 0 até a reta de interseção dos planos x = 1 , e y + z = 3 , é menor que 2,5.

Passo 1

Checar posições relativas entre planos consiste em analisar os seus vetores normais. Então, vamos relembrar como obtemos o vetor normal de um plano. Seja um plano π dado por:

π : a x + b y + c z + d = 0

Então, o vetor normal a este plano π é dado por n → = a , b , c . Sendo assim, os vetores normais aos planos ∏ 1 e ∏ 2 são, respectivamente, n → 1 = a , 4 , 1 e n → 2 = 2 , 3 , 5 .

Dois planos são transversais se eles não são paralelos. Podemos checar isto verificando se existe λ ∈ R tal que n → 1 = λ n → 2 . Então,

n → 1 = λ n → 2

a , 4,1 = λ 2,3 , 5

a , 4,1 = 2 λ , 3 λ , 5 λ

Comparando coordenada a coordenada, verificamos que não existe λ que satisfaça a relação acima. Portanto, os vetores n → 1 e n → 2 não são paralelos, independentemente do valor de a . Sendo assim, os nossos dois planos são transversais independentemente do valor de a !

Concluindo, a afirmação é verdadeira!

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha um vetor normal ao plano π em cada caso:a) π contém
As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t -
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, u
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a inter