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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Diga qual é a posição relativa entre planos:

π 1 : 5 x - 2 y + z + 7 = 0 ��   e     π 2 : 3 x - 3 y + z + 4 = 0

Caso eles forem transversais, determine a equação da reta formada por eles.

Passo 1

Uhh, quando começa com esse “Caso sejam transversais...” já sabemos que tem 99,99 % de chance dos planos serem transversais! Mas, como bons alunos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, vamos provar isso!

Para os planos serem transversais, nenhum dos coeficientes pode ser proporcional. Vamos ver se isso “ser” verdade.

π 1 : 5 ,   - 2 ,   1 ,   7

π 2 : ( 3 ,   - 3 ,   1 ,   4 )

Precisamos que ( 5 ,   - 2 ,   1 ,   7 ) ≠ α ( 3 ,   - 3 ,   1 ,   4 )

Montando um sisteminha maneiro, obtemos:

5 = 3 α →   α = 5 3 - 2 = - 3 α →   α = 2 3 1 = 1 α →   α = 1 7 = 4 α →   α = 7 4

Como NENHUM dos α bate, nossos planos são de fato transversais.

Passo 2

Pô, mas além de pedir a posição relativa o moço também pediu a equação da reta formada pelos planos!

Calma, galera! É mais fácil do que parece, haha!

Pensa comigo, se dois planos são transversais, eles se cruzam (obviamente, hehe). Quando eles se cruzam forma-se uma reta comum aos dois planos! Ou seja, essa reta contém os únicos pontos em comum entre π 1 e π 2 !

Se liga nessa figura!

Sacou??

Então, se a gente fizer um sistema com as equações dos planos, vamos achar os pontos em comum entre eles, ou seja, os pontos da reta!

5 x - 2 y + z = - 7     I 3 x - 3 y + z = - 4     I I

De ( I ) tiramos que:

y = 5 x + z + 7 2     ( i )

De I I , temos:

z = - 4 - 3 x + 3 y     ( i i )

Substituindo i i em ( i ) :

2 y = 5 x - 4 - 3 x + 3 y + 7

y = - 2 x - 3

Logo,

z = - 4 - 3 x + 3 - 2 x - 3

z = - 9 x - 13

Com isso, nossa reta será formada pelos pontos que satisfazem as relações:

y = - 2 x - 3 z = - 9 x - 13

Para escrevermos uma equação paramétrica para a reta precisamos de um vetor diretor e de um ponto da reta. Para isso, vamos pegar dois pontos quaisquer dessa reta e calcular o vetor diretor!

r → = 1 ,   - 5 , -   22 - 0 ,   - 3 ,   - 13 = ( 1 ,   - 2 ,   - 9 )

Agora só falta um ponto! Vou usar A = ( 0 ,   - 3 ,   - 13 ) .

Logo, uma equação paramétrica de r é:

r : x = t y = - 3 - 2 t z = - 13 - 9 t

FIM 😉

Resposta

r : x = t y = - 3 - 2 t z = - 13 - 9 t

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As equações X = 0,0 , 0 + t α 1,2 , 4 e X = 1,0 , - 2 + t -
Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,4 ,- 5 ) em duas parcelas, u
O vetor ( 1 ,1 ,m ) é normal ao plano π , que contém a inter