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Exercícios Resolvidos de Posição entre Planos

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Enunciado

Determinar a e b , de modo que os planos

π 1 : a x + b y + 4 z - 1 = 0     e     π 2 : 3 x - 5 y - 2 z + 5 = 0

sejam paralelos.

Passo 1

O problema pede para calcularmos os valores de a e b para que os planos π 1 e π 2 sejam paralelos.

Dados:

π 1 :   (   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = ( a ,   b ,   4 ,   - 1 )

π 2 : a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 = ( 3 ,   - 5 ,   - 2 ,   5 )

Passo 2

O enunciado nos pede para que os planos sejam paralelos. Não fala nada em serem paralelos distintos ou iguais. Então, pela teoria, sabemos que para serem paralelos pelo menos os 3 primeiros coeficientes devem ser proporcionais.

(   a 1 ,   b 1 , c 1 , d 1 ) = α ( a 2 ,   b 2 , c 2 , d 2 )

Substituindo as variáveis que temos:

a ,   b ,   4 ,   - 1 = α 3 ,   - 5 ,   - 2 ,   5

Igualando coordenada a coordenada, temos:

x → a = 3 α       ( 1 )

y → b = - 5 α           ( 2 )

z → 4 = - 2 α → α = - 2           ( 3 )

- 1 = α 5           ( 4 )

Substituindo α = - 2 nas expressões 1 ,   2 e 4 , obteremos:

a = - 6

b = 10

- 1 ≠ - 10

Para os planos serem paralelos a = - 6 e b = 10 , mas como - 1 ≠ - 10 sabemos que eles serão paralelos distintos.  

Resposta

a = - 6             e               b = 10

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