Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

Lista de Exercícios - FEI

Calcular a área aproximada limitada por 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1), 𝑥 = 2, 𝑥 = 3 e 𝑦 = 0, utilizando a fórmula de simpson com o menor número de pontos e erro E < 0.0 1 .

Passo 1

Bom, a primeira coisa que a gente precisa fazer é achar o número intervalos n que precisamos usar pra resolver com esse erro que o professor determinou, pra isso é só usar a fórmula do limitante de erro.

E ≤ n h 5 180 *   max x ∈ [ a , b ] ⁡ f i v ( x )

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Passo 2

Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar!

f ' x = 1 x + 1

f ' ' x = - 1 x + 1 2

f ' ' ' x = 2 x + 1 3

f i v x = - 6 x + 1 4

No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz | f i v x | ser máximo é x = 2 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:

E ≤ 2 n h 5 180 * 27

Lembre que na fórmula do erro usamos o módulo da f i v ( x ) por isso que a gente esquece o sinal.

Se o erro é sempre menor ou igual a 2 n h 5 180 * 27 e queremos limitar ele à 0.01, Então podemos escrever: 2 n h 5 180 * 27 < 0.01  

Passo 3

Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:

h = b - a n

O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. Nesse exercício o intervalo de integração é [ 2,3 ] então...

h = 1 n

Passo 4

Substituindo na nossa inequação a equação do h :

2 n ( 1 n ) 5 180 * 27 < 0.01

Resolvendo ficamos com...

1 n 4 < 0.01 * 180 * 27 2

Invertendo de ambos os lados n 4 > 0.0412

Elevando a 1 4 ambos os lados

n > 0.4504

Passo 5

Com n deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso n = 1 , o que resultaria em k=2 ponto. Maaaaas em Simpson o número mínimo de pontos para fazer mos a integral são 3... então bora tabelar a nossa função usando 3 pontos.

Passo 6

Como agora a gente já sabe que vai usar uma tabela com k=3 pontos, já dá pra calcular o passo h da nossa tabela de x pela f ( x ) .

n = k - 1

n = 2

h = 1 n

h = 0.5

Logo nossa tabela andará de 0.5 em 0.5.

Passo 7

Nossa tabela ficou assim:

Substituindo na f ( x ) os valores de x da nossa tabela teremos:

Agora é só aplicar a fórmula de simpson.

Passo 8

Olha lá a fórmulinha para 3 pontos:

∫ 2 3 l n ⁡ ( x + 1 ) d x ≈   h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ]

Passo 9

∫ 2 3 l n ⁡ ( x + 1 ) d x ≈   0.5 3 [ 1.0986 + 4 * 1.2528 + 1.3863 ]

Resolvendo a continha do lado direito

∫ 2 3 l n ⁡ ( x + 1 ) d x ≈   1.2493

Passo 10

Resposta

∫ 2 3 l n ⁡ ( x + 1 ) d x ≈   1.2493

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