Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Determinar h , a distância entre x i e x i + 1 , para que se possa avaliar ∫ 0 π / 2   cos ⁡ x d x com erro inferior a ε = 10 - 3 pela regra de Simpson.

Passo 1

O limitante para o erro pela regra 1/3 de Simpson é dado por:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

Calculando a derivada de ordem 4 :

f x = cos ⁡ x

f ' x = - sin ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f 3 x = sin ⁡ x

f 4 x = cos ⁡ x

E o valor de maior módulo que cos ⁡ x assume no intervalo 0 , π 2 é 1 . Por último substituímos n = b - a h . Sendo assim, temos:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

E ≤ b - a h 4 180 ∙ 1 ≤ 10 - 3

h 4 ≤ 0.11459

h ≤ 0.581819

Passo 2

Ué, passo 2 por quê? Não acabou não?

Não! A gente quase se esquece de um detalhe importantíssimo! O nosso n tem que ser inteiro e par! O n nesse caso vale:

n = b - a h = π 2 0.581819 = 2.7

Então, h ≤ 0.581819 implica em n ≥ 2.7 . E o próximo número par inteiro maior que 2.7 é 4 . Logo,

h ≤ b - a n = π 2 4 = π 8

E esse é o nosso h ! Pegadinha safada essa né?

Resposta

h ≤ π 8

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