Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Usando a regra de Simpson, calcule o valor de ∫ 1 2 d x x com precisão de 4 casas decimais. Compare o resultado com o valor de ln ⁡ 2 .

Passo 1

Primeiro temos que encontrar o número mínimo de intervalos que nos garante uma precisão de 4 casas decimais, ou seja, 10 - 4 . Então:

n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x ≤ 10 - 4

A derivada quarta de f x é dada por:

f x = 1 x

f ' x = - 1 x 2

f ' ' x = 2 x 3

f 3 x = - 6 x 4

f 4 x = 24 x 5

E o valor máximo do módulo dessa derivada no intervalo 1,2 acontece em x = 1 , onde temos f 4 1 = 24 .

Por fim, usando a relação h = b - a n temos:

1 5 180 n 4 ∙ 24 ≤ 10 - 4

n 4 ≥ 1333.333

n ≥ 6.043

E como n deve ser inteiro e par,

n ≥ 8

Passo 2

Agora vamos aproximar a integral usando 8 intervalos, ou seja, h = 1 8 = 0.125 . A tabela fica:

∫ 1 2 d x x ≈ 0.125 3 1 + 4 2.7649 + 2 2.0381 + 0.5

∫ 1 2 d x x ≈ 0.69316

O resultado exato seria ln ⁡ 2 = 0.69314718 . Ou seja, o erro foi de:

E = 0.69316 - 0.69314718 = 0.1282 × 10 - 4

Que é menor que 10 - 4 como esperávamos.

Resposta

∫ 1 2 d x x ≈ 0.69316

ln ⁡ 2 = 0.69314718

E = 0.69316 - 0.69314718 = 0.1282 × 10 - 4

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