Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Use a regra 1/3 de Simpson para integrar a função abaixo entre 0 e 2 com o menor esforço computacional possível (menor número de divisões e maior precisão). Justifique. Trabalhe com três casas decimais.

f x = x 2 ,       s e   0 ≤ x ≤ 1 x + 2 3 ,       s e   1 < x ≤ 2

Passo 1

Você tem que se lembrar do seguinte: a regra 1/3 de Simpson aproxima integrais sem erro nenhum de polinômios de grau menor ou igual a 3 !

E como nossa função é subdividida em polinômios de grau 2 e 3 , usando o número mínimo de divisões necessárias para aplicarmos a regra já estamos garantindo a precisão máxima.

Sendo assim, precisamos dividir essa função em 4 intervalos. Dois intervalos para aproximarmos o polinômio x 2 e dois para aproximarmos o x + 2 3 !

Passo 2

Montando a tabela desse problema vamos ter:

Observe que como no ponto 1 temos uma descontinuidade, usei os limites laterais para que a conta desse certinha! Se não usássemos esse artifício nosso resultado final certamente não seria sem erro nenhum!

Na prática o que estamos fazendo é dividindo nossa integral dessa forma:

∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 x + 2 3 d x

E resolvemos cada uma dessas integrais pela regra 1/3 de Simpson:

∫ 0 2 f x d x = 0.5 3 0 + 4 0.25 + 1 + 0.5 3 27 + 4 42.875 + 64 = 44.083

Resposta

Obtemos o menor esforço computacional com 4 intervalos e erro igual a 0 .

∫ 0 2 f x d x = 44.083

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