Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Seja I = ∫ 0 1 e x d x .

a Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com n = 10 . Estime o erro cometido.

b Para que valor de n teríamos erro inferior a 10 - 3 ?

Passo 1

a Como n = 10 , temos h = 1 10 = 0.1 . Fazendo a tabelinha:

Jogando na fórmula:

I ≈ 0.1 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 3 + … + f x 9 + 2 f x 2 + f x 4 + … + f x 8 + f x 10

I ≈ 0.1 3 1 + 4 8.578 + 2 6.761 + 2.718

I ≈ 1.7184

Passo 2

Para estimar o erro cometido usamos a fórmula:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

A derivada quarta de e x é o próprio e x , e ele tem valor máximo no intervalo 0,1 em x = 1 , onde temos f i v 1 = 2.718 . Além disso, sabemos que n = 10 e que h = 0.1 . Logo:

E ≤ 10 0.1 5 180 ∙ 2.718

E ≤ 1.51 × 10 - 6

É importante ressaltarmos que trabalhamos com apenas três casas decimais nas contas então nossa aproximação de I certamente não tem o erro que estimamos! Esse limitante do erro considera que fizemos as contas com todas as casas decimais possíveis.

Passo 3

b Repare que usando n = 10 obtivemos um erro da ordem de 10 - 6 ! Isso quer dizer que para termos um erro menor que 10 - 3 podemos diminuir bastante esses intervalos!

Sabemos que h = b - a n . Logo, nossa fórmula do erro pode ser reescrita como:

E ≤ b - a 5 180 n 4 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

Substituindo os valores que já temos: 1 5 180 n 4 ∙ 2.718 ≤ 10 - 3

n 4 ≥ 15.1

n ≥ 1.97

Como n deve ser par e inteiro, temos que:

n ≥ 2

Resposta

a I ≈ 1.7184

E ≤ 1.51 × 10 - 6

b n ≥ 2

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