Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Determinar o menor número de pontos necessários para calcular a integral ∫ 0 π 3 cos ⁡ x d x pela regra de simpson com erro inferior a 0,001

Passo 1

Fala pessoinha, se você deu uma olhada no nosso conteúdo de método do trapézio, você viu esse exercício lá. Agora vamos ver que pelo método de simpson vai precisar de bem menos pontos para o mesmo erro

Nesses casos onde o professor pergunta pra gente qual o número de pontos necessário, a gente vai se apegar com força na fórmula do limitante de erro, que é essa aqui oh:

E ≤ n h 5 180 *   max x ∈ [ a , b ] ⁡ f i v ( x )

Com ela a gente vai conseguir calcular o passo que é o “h” e já já te mosto como o h leva a gente até o número de pontos.

Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar! Essa é mole...

f ' x = - s e n x

f ' ' x = - c o s ⁡ ( x )

f ' ' ' x = s e n ( x )

f i v x = c o s ⁡ ( x )

No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz | f i v x | ser máximo é x=0 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:

E ≤ n h 5 180

Se o erro é sempre menor ou igual a n h 5 180 e queremos limitar ele à 0.001, Então podemos escrever: n h 5 180 < 0.001  

Passo 2

Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:

h = b - a n

O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. E veja só

k = n + 1

O número de pontos necessários k é o número de intervalos mais um, viu só como o h salvou nossa vida!!! Nesse exercício o intervalo de integração é [ 0 ,   π / 3 ] então...

h = π 3 n

Passo 3

Substituindo na nossa inequação:

n ( π 3 n ) 5 180 < 0.001

Resolvendo ficamos com...

1 n 4 < 0.001 * 180 * 3 5 π 5

Invertendo de ambos os lados n 4 > 6.9963

Elevando a 1 4 ambos os lados

n > 1.62

Passo 4

Com n deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso n = 2

Como a pergunta foi o número de pontos e não de intervalos (pegadinha do professor), é só somar 1 ao número de intervalos n .

LEMBRETE: Para usar a regra de simpson k deve sempre ser ímpar. Portanto se encontrassemos k=4, arredondaríamos para o número ímpar imediatamente superior k=5.

Resposta

k = 3 pontos. (Bem menos que usando regra do trapézio )

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