Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Calcular a √°rea aproximada limitada por ūĚ϶ = ūĚĎôūĚĎõ(ūĚĎ• + 1), ūĚĎ• = 2, ūĚĎ• = 3 e ūĚ϶ = 0, utilizando a f√≥rmula de simpson com o menor n√ļmero de pontos e erro E < 0.0 1 .

Passo 1

Bom, a primeira coisa que a gente precisa fazer √© achar o n√ļmero intervalos n que precisamos usar pra resolver com esse erro que o professor determinou, pra isso √© s√≥ usar a f√≥rmula do limitante de erro.

E ‚ȧ n h 5 180 *   max x ‚ąą [ a , b ] ‚Ā° f i v ( x )

Passo 2

Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar!

f ' x = 1 x + 1

f ' ' x = - 1 x + 1 2

f ' ' ' x = 2 x + 1 3

f i v x = - 6 x + 1 4

No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz | f i v x | ser máximo é x = 2 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:

E ‚ȧ 2 n h 5 180 * 27

Lembre que na fórmula do erro usamos o módulo da f i v ( x ) por isso que a gente esquece o sinal.

Se o erro √© sempre menor ou igual a 2 n h 5 180 * 27 e queremos limitar ele √† 0.01, Ent√£o podemos escrever: 2 n h 5 180 * 27 < 0.01  

Passo 3

Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc n√£o manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:

h = b - a n

O b e o a s√£o os extremos superior e inferior da integral e n o n√ļmero de intervalos. Nesse exerc√≠cio o intervalo de integra√ß√£o √© [ 2,3 ] ent√£o...

h = 1 n

Passo 4

Substituindo na nossa inequação a equação do h :

2 n ( 1 n ) 5 180 * 27 < 0.01

Resolvendo ficamos com...

1 n 4 < 0.01 * 180 * 27 2

Invertendo de ambos os lados n 4 > 0.0412

Elevando a 1 4 ambos os lados

n > 0.4504

Passo 5

Com n deve ser um n√ļmero inteiro, sempre vamos arredond√°-lo para cima, nesse caso n = 1 , o que resultaria em k=2 ponto. Maaaaas em Simpson o n√ļmero m√≠nimo de pontos para fazer mos a integral s√£o 3... ent√£o bora tabelar a nossa fun√ß√£o usando 3 pontos.

Passo 6

Como agora a gente j√° sabe que vai usar uma tabela com k=3 pontos, j√° d√° pra calcular o passo h da nossa tabela de x pela f ( x ) .

n = k - 1

n = 2

h = 1 n

h = 0.5

Logo nossa tabela andar√° de 0.5 em 0.5.

Passo 7

Nossa tabela ficou assim:

Substituindo na f ( x ) os valores de x da nossa tabela teremos:

Agora é só aplicar a fórmula de simpson.

Passo 8

Olha lá a fórmulinha para 3 pontos:

‚ąę 2 3 l n ‚Ā° ( x + 1 ) d x ‚Čą   h 3 f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ]

Passo 9

‚ąę 2 3 l n ‚Ā° ( x + 1 ) d x ‚Čą   0.5 3 [ 1.0986 + 4 * 1.2528 + 1.3863 ]

Resolvendo a continha do lado direito

‚ąę 2 3 l n ‚Ā° ( x + 1 ) d x ‚Čą   1.2493

Passo 10

Resposta

‚ąę 2 3 l n ‚Ā° ( x + 1 ) d x ‚Čą   1.2493

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