Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

Uma criança rolando uma pedra x metros utiliza uma força de 𝑓(𝑥) = 15 + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) dada em Newtons. Sabe-se que o trabalho realizado pela criança para rolar π / 2 metros é dado por W = ∫ 0 π / 2 f ( x ) d x . Determine o número de integrais usando pela fórmula de Simpson com erro de truncamento menor que 0.0004.

Passo 1

Pega essa criança possuída pelo demônio que consegue fazer uma força senoidaaaal!!! Dito isso, fico mais tranquilo pra te dizer que sempre que o professor pedir número de intervalos, pontos ou integrais, vamos sempre nos apegar a fórmula do limitante de erro, que é essa aqui:

E ≤ n h 5 180 *   max x ∈ [ a , b ] ⁡ f i v ( x )

Mas nesse caso podemos reescrever ela assim oh:

E ≤ n 2 * h 5 90 *   max x ∈ [ a , b ] ⁡ f i v ( x )

E esse n 2 vai ser o número de integrais de simpson utilizadas. Basta encontrarmos n agora né?!

Passo 2

Essa parte mais à direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando... Então bora derivar!

f ' x = 3 c o s x

f ' ' x = - 3 s e n ⁡ ( x )

f ' ' ' x = - 3 c o s ( x )

f i v x = 3 s e n ( x )

No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz | f i v x | ser máximo é x = π 2 . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:

E ≤ 3 n h 5 180

Se o erro é sempre menor ou igual a 3 n h 5 180 e queremos limitar ele à 0.0004, então podemos escrever: 3 n h 5 180 < 0.0004  

Passo 3

Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:

h = b - a n

O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. Nesse exercício o intervalo de integração é [ 0 , π 2 ] então...

h = π 2 n

Passo 4

Substituindo na nossa inequação:

3 n ( π 2 n ) 5 180 < 0.0004

Resolvendo ficamos com...

1 n 4 < 0.0004 * 180 * 2 5 3 π 5

Invertendo de ambos os lados n 4 > 398,46313

Elevando a 1 4 ambos os lados

n > 4,47

Passo 5

Com n deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso n = 5

Como a pergunta foi o número de integrais de simpson e não de intervalos (pegadinha do professor), é só dividir n por 2.

n 2 = 2 , 5

Ou seja, no mínimo, 3 integrais de simpson são suficientes.

Resposta

3 integrais de Simpson

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