Exercícios Resolvidos de Regra de Sarrus

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Enunciado

Encontre os valores de λ para os quais det ⁡ A = 0 .

λ - 4 0 0 0 λ 2 0 3 λ - 1

Passo 1

Opa meus lindos, tudo bem com vocês? Bora lá resolver essa questão! Aqui somos apresentados pra matriz:

λ - 4 0 0 0 λ 2 0 3 λ - 1

Uma matriz um pouco “estranha” por que a gente tem essas variáveis λ , mas tudo nos conformes. E então, ele pede os valor de λ para os quais o determinante dessa matriz assuma valor 0 . Ou seja, ao calcularmos o determinante dessa matriz (para que ela seja 0), vamos encontrar um λ como variável de uma equação, dessa forma assumindo algum valor. Simbora executar a questão?

Passo 2

Show, primeiramente temos que definir um jeito pra gente calcular esse determinante né? Pra nossa matriz, a maneira mais eficiente vai ser através de uma maneira clássica que muita gente vê no ensino médio até. Ela é calculada por subtrações e somas de certos elementos da matriz. Fiz aqui um modelo visual pra gente poder visualizar melhor.

Lembrando que esses elementos a i j da imagem, correspondem aos elementos de qualquer matriz 3X3. Traduzindo:

a i j

Elemento a que se encontra na linha (horizontal) i e na coluna (vertical) j . Por exemplo, pra nossa matriz:

λ - 4 0 0 0 λ 2 0 3 λ - 1

O elemento a 11 é aquele que se encontra na segunda linha e segunda coluna, logo o elemento:

λ - 4

Agora a vez de vocês: quem seria o elemento a 22 ? Seria o elemento na primeira linha e segunda coluna, logo:

O elemento a 2 2 é o λ . E por aí vai.

Passo 3

Belezinha, temos então a nossa matriz:

λ - 4 0 0 0 λ 2 0 3 λ - 1

Aplicando a primeira parte do método, que é replicar as duas primeiras colunas ao lado da matriz:

λ - 4 0 0 0 λ 2 0 3 λ - 1 λ - 4 0 0 λ 0 3

Belezura. Agora vem a parte mais legal! Sabe o método? Esse:

Então, vamos seguir as setas em azul realizando o produto dos elementos na mesma seta, e SOMANDO com a o produto da próxima seta e por aí vai. Para as setas em vermelho, vamos realizar o produto dos elementos na mesma seta e SUBTRAIR. Ou seja, o determinante da matriz vai ser calculado por:

D = a 11 ⋅ a 22 ⋅ a 33 + a 12 ⋅ a 23 ⋅ a 31 + a 13 ⋅ a 21 ⋅ a 32

- a 13 ⋅ a 22 ⋅ a 31 - a 11 ⋅ a 23 ⋅ a 32 - a 12 ⋅ a 21 ⋅ a 33

Bora jogar na matriz da nossa questão? Simbora! Temos então que para:

O determinante pode ser calculado como:

D = ( λ - 4 ) ( λ ) ( λ - 1 ) + 0 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 ⋅ 3

- 0 ⋅ λ ⋅ 0 - λ - 4 ⋅ 2 ⋅ 3 - 0 ⋅ 0 ⋅ ( λ - 1 )

Passo 4

Showzinho, estamos quase lá. Bora primeiro resolver esse monstrinho aqui:

( λ - 4 ) ( λ ) ( λ - 1 )

Temos que:

λ 2 - 4 λ λ - 1

λ 3 - λ 2 - 4 λ 2 + 4 λ

Belezinha, bora continuar os cálculos:

D = ( λ - 4 ) ( λ ) ( λ - 1 ) + 0 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 ⋅ 3

- 0 ⋅ λ ⋅ 0 - λ - 4 ⋅ 2 ⋅ 3 - 0 ⋅ 0 ⋅ ( λ - 1 )

D = λ 3 - λ 2 - 4 λ 2 + 4 λ + 0 + 0 - 0 - 6 λ + 24 - 0

Logo,

D = λ 3 - 5 λ 2 - 2 λ + 24

Belezinha, determinante encontrado. Agora, vamos adotar a condição que a questão impôs. Ou seja, o determinante ser igual a 0. Dessa forma temos:

λ 3 - 5 λ 2 - 2 λ + 24 = 0

Olha só, um polinômio! E ele tem diversas raízes, ou diversas soluções, pra isso ser igual a 0. Essas soluções são justamente os valores de λ que queremos. Estamos quase lá, vamo que bora!

Passo 5

Belezinha, para o nosso polinômio:

λ 3 - 5 λ 2 - 2 λ + 24 = 0

Precisamos achar as raízes. Vocês tem alguma dica pra gente resolver? Vamos tentar dar uma mudadinha na cara dele. A gente pode reescrever esse polinômio como:

λ - 4 λ - 3 λ + 2 = 0

Dessa forma, as raízes pra esse polinômio, são:

λ = 4

λ = 3

λ = - 2

Portanto, esses são os valores que λ pode assumir para que o determinante da nossa matriz seja 0! E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

λ = 4

λ = 3

λ = - 2

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Calcule o determinante das matrizes a seguir: [[[e^(r t),t e^(r t)],[r,e^(r t),(1 + r t),e^(r t)]]]
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .c) A = 1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 0 0 3 0 3 2
Determine todos os valores de λ para os quais det(A-λ I n ) = 0, em que b) A = 1 0 0 - 1 3 0 3 2 - 2
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X . A = 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3
Calcule o determinante das seguintes matrizes:b) [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]]