Exercícios Resolvidos de Regra de Sarrus

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Enunciado

Mostre que o valor do determinante não depende de θ :

det ⁡ s e n θ c o s θ 0 - c o s θ s e n θ 0 s e n θ - c o s θ s e n θ + c o s θ 1

Passo 1

E aí galerinha, tudo tranks?

Temos que mostrar que o valor do determinante independe da variável θ na nossa matriz. Pra gente fazer isso, vamos plicar nossos conhecimentos sobre cálculo de determinante e analisar o que tá rolando com o nosso θ   no meio disso.

Vocês lembram como calculamos o determinante de uma matriz 3X3? O determinante de uma matriz 3 × 3 pode ser dado da seguinte forma:

det ⁡ a b c p q r x y z

a b c p q r x y z         a b p q x y = a q z + b r x + c p y - ( b p z + a r y + c q x )

Somando o produto dos elementos das setas em azul, subtraindo pelo produto dos elementos das setas em laranja.

Sabendo disso, podemos agora calcular nosso determinante.

Passo 2

Para a nossa matriz:

det ⁡ s e n θ c o s θ 0 - c o s θ s e n θ 0 s e n θ - c o s θ s e n θ + c o s θ 1 =

Temos que o determinante pode ser dado por:

s e n 2 θ + 0 + 0 - - c o s 2 θ + 0 + 0

= s e n 2 θ + c o s ² θ

Opa olha só, uma função trigonométrica! O que essa relação lembra vocês? Sabemos pela relação fundamental trigonométrica que, independente do ângulo θ em questão:

det ⁡ = s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

Ou seja, acabamos de provar que o determinante da matriz é igual a 1, e independe de θ .

E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

O determinante será sempre s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1 , de forma que o valor teta não interfere no resultado.

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o determinante das matrizes a seguir: [[[e^(r t),t e^(r t)],[r,e^(r t),(1 + r t),e^(r t)]]]
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .c) A = 1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 0 0 3 0 3 2
Determine todos os valores de λ para os quais det(A-λ I n ) = 0, em que b) A = 1 0 0 - 1 3 0 3 2 - 2
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X . A = 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3
Calcule o determinante das seguintes matrizes:b) [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]]