Exercícios Resolvidos de Superposição, Thévenin e Norton para Corrente Alternada

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Enunciado

Usando o teorema de Thevenin, determine v 0 no circuito abaixo:

Passo 1

De cara, temos que passar o circuito para o domínio da frequência:

12 cos ⁡ ( t )       →       12 ∠ 0 °   ,         ω = 1   r a d / s

2   H       →       j ω L = j 2

1 4   F       →   -   j 1 ω C   = - j 4

1 8   F       →   -   j 1 ω C   = - j 8

Portanto, o circuito no domínio da frequência será:

Passo 2

Agora, vamos aplicar o teorema de Thevenin para encontrar V 0 . Para isso, temos que retirar o resistor de 2   Ω e encontrar o circuito equivalente de Thevenin a esquerda dos terminais a - b .

Passo 3

Agora, vamos calcular Z T h . O circuito tem uma fonte dependente de corrente, temos que lembrar que não desligamos fontes dependentes, apenas desligamos as independentes.

Além disso, para esse caso nós conectamos uma fonte de tensão V x nos terminais a - b que fornece ao circuito uma corrente I x e encontramos Z T h através da relação abaixo:

Z T h = V x I x

Passo 4

Para encontrar Z T h vamos utilizar análise nodal no circuito abaixo:

Aplicando a LCK ao nó 1:

V 0 - j 4 + 3 I 0 = I 0 + V x - V 0 j 2

Pela lei de Ohm:

I 0 = - V 0 4

Substituindo:

V 0 - j 4 + 3 - V 0 4 = - V 0 4 + V x - V 0 j 2

V 0 - j 4 - 3 V 0 4 = - V 0 4 + V x - V 0 j 2

V 0 1 - j 4 - 3 4 + 1 4 + 1 j 2 = 1 j 2 V x

V 0 - 0,5 + j 0,25 = - j 0,5 V x

V 0 = - j 0,5 0,5 + j 0,25 V x

V 0 = 0,5 ∠ - 90 ° 0,56 ∠ 26,56 ° V x

V 0 = 0,89 ∠ - 116,5 7 ° V x       ( i )

Agora, vamos aplicar a LCK ao nó 2:

3 I 0 + I x = V x - V 0 j 2 + V x - j 8

Substituindo I 0 e simplificando, temos:

3 - V 0 4 + I x = 1 j 2 + 1 - j 8 V x - V 0 j 2

- 0,75 V 0 + I x = - j 0,5 + j 0,125 V x + j 0,5 V 0

- 0,75 + j 0,5 V 0 = - j 0,375 V x - I x

- V 0 = - j 0,375 0,75 + j 0,5 V x - I x 0,75 + j 0,5

- V 0 = 0,375 ∠ - 90 ° 0,90 ∠ 33,69 ° V x - I x 0,90 ∠ 33,69 °

- V 0 = 0,41 6 ∠ - 123,69 ° V x - 1,1 1 ∠ - 33,69 ° I x     ( i i )

Passo 5

Igualando as equações ( i ) e ( i i ) , temos:

- 0,89 ∠ - 116,56 ° V x = 0,417 ∠ - 123,69 ° V x - 1,1 ∠ - 33,69 ° I x

Agora, vamos simplificar:

- 0,89 ∠ - 116,56 ° - 0,417 ∠ - 123,69 ° V x = - 1,1 ∠ - 33,69 ° I x

- ( 0,631 + j 1,146 ) V x = - 1,1 ∠ - 33,69 ° I x

V x I x = 1,1 ∠ - 33,69 ° 0,631 + j 1,146

V x I x = 1,1 1 ∠ - 33,69 ° 1,31 ∠ - 118,83 °

Portando:

Z T h = V x I x = 0,847 ∠ 85,14 °   Ω

Z T h = 0 , 0 7 2 + j 0,844   Ω

Passo 6

Agora precisamos encontrar V T h que é a tensão de circuito aberto entre os terminais a - b .

Para isso, vamos utilizar mais uma vez análise nodal.

Aplicando a LCK ao nó 1:

V 1 - j 4 + 3 I 0 = I 0 + V T h - V 1 j 2

V 1 - j 4 + 2 I 0 = V T h - V 1 j 2

Nesse circuito:

I 0 = 12 ∠ 0 ° - V 1 4

Substituindo:

V 1 - j 4 + 2 12 - V 1 4 = V T h - V 1 j 2

j 0,25 V 1 + 6 - 0,5 V 1 = - j 0,5 V T h + j 0,5 V 1

- 0,5 + j 0,25 - j 0,5 V 1 + j 0,5 V T h = - 6

- 0,5 + j 0,25 V 1 + j 0,5 V T h = - 6       i i i

Agora, vamos aplicar a LCK ao nó 2:

V T h - j 8 + V T h - V 1 j 2 = 3 I 0

Substituindo o valor I 0 e simplificando, temos:

0,125 j V T h - 0,5 j V T h + 0,5 j V 1 = 3 12 - V 1 4

- 0,375 j V T h + 0,5 j V 1 + 0,75 V 1 = 9

0,75 + j 0,5 V 1 - j 0,375 V T h = 9       ( i v )

Passo 7

Com as equações ( i i i ) e ( i v ) chegamos ao sistema abaixo:

- 0,5 + j 0,25 V 1 + j 0,5 V T h = - 6     ( i i i ) 0,75 + j 0,5 V 1 - j 0,375 V T h = 9         ( i v )

Isolando V 1 em ( i i i ) :

- 0,5 + j 0,25 V 1 = - 6 - j 0,5 V T h

V 1 = 6 + j 0,5 V T h 0,5 + j 0,25

V 1 = 6 0,56 ∠ 26,56 ° + j 0,5 V T h 0,56 ∠ 26,56 °

V 1 = 10,71 ∠ - 26,56 ° + 0,5 ∠ 90 ° 0,56 ∠ 26,56 ° V T h

V 1 = 10,71 ∠ - 26,56 ° + ( 0,893 ∠ 63,44 ° ) V T h

Agora, substituindo em ( i v ) :

0,75 + j 0,5 10,71 ∠ - 26,56 ° + 0,893 ∠ 63,44 ° V T h - j 0,375 V T h = 9

0,9 ∠ 33,69 ° 10,71 ∠ - 26,56 ° + 0,893 ∠ 63,44 ° V T h - j 0,375 V T h = 9

9,64 ∠ 7,13 ° + 0,805 ∠ 97,13 ° V T h - j 0,375 V T h = 9

- 0,099 + j 0,798 V T h - j 0,375 V T h = 9 - 9,64 ∠ 7,13 °

- 0,099 + j 0,798 - j 0,375 V T h = 9 - 9,56 - j 1,2

V T h = - ( 0,56 + j 1,2 ) - 0,099 + j 0,423

V T h = - 1,32 ∠ 64,98 ° 0,434 ∠ 103,17 °

V T h = - 3,04 ∠ - 38,19 °     V

V T h = 3,04 ∠ ( - 38,19 ° + 180 ° )   V

V T h = 3,04 ∠ 141,81 °   V

Passo 8

Agora que temos os valores de V T h e Z T h podemos substituir todo o circuito a esquerda dos terminais a - b pelo circuito equivalente de Thevenin.

Agora, vamos aplicar divisor de tensão para encontrarmos V 0 :

V 0 = 2 2 + Z T h V T h

V 0 = 2 2 - 0,527 - j 2,234 3,04 ∠ 141,81 °

V 0 = 2 1,473 - j 2,234 3,04 ∠ 141,81 °

V 0 = 2 2,68 ∠ - 56,60 ° 3,04 ∠ 141,81 °

V 0 = 2,27 ∠ 198,4 °     V

Para terminar, precisamos voltar para o domínio do tempo:

v 0 = 2,27 cos ⁡ t + 198,4 °     V

Resposta

v 0 = 2,27 cos ⁡ t + 198,4 °     V

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