Exercícios Resolvidos de Teorema da Probabilidade Total

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Enunciado

Cada uma de 3 caixas possui 2 gavetas. A primeira caixa contém uma moeda de ouro em cada gaveta, a segunda caixa contém 2 moedas de prata em cada gaveta, e a terceira caixa, uma moeda de ouro em uma gaveta, e uma de prata na outra. Uma caixa é escolhida ao acaso; uma de suas gavetas é escolhida ao acaso e aberta, encontrando-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade que a moeda da outra gaveta seja também de ouro?

Passo 1

Vamos chamar de:

A → p r i m e i r a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

B → s e g u n d a   m o e d a   s e r   d e   o u r o

Passo 2

Usando probabilidade condicional a gente sabe que a probabilidade da segunda moeda ser de ouro sabendo que a primeira já foi de ouro é dada pela fórmula:

P B A = P A ∩ B P A

E é exatamente isso que a gente precisa calcular.

Passo 3

Vamos por partes.

P ( A ∩ B ) é a probabilidade da primeira e da segunda moeda serem de ouro, certo?

Só que isso só acontece se escolherem a caixa I, concorda?

Então:

P A ∩ B = P c a i x a   1 = 1 / 3

Passo 4

Agora temos que calcular a probabilidade da primeira moeda ser de ouro.

Pra isso, vamos usar o teorema da probabilidade total.

P A = P A c a i x a   I . P c a i x a   I + P A c a i x a   I I . P c a i x a   I I + P A c a i x a   I I I . P c a i x a   I I I

Probabilidade da primeira moeda ser de ouro é a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa I vezes a probabilidade de escolhermos a caixa I, mais a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa II vezes a prob. de escolhermos a caixa II e a mesma coisa pra III.

Como todas as moedas da caixa I são de ouro → P A c a i x a   I = 1

Como na II não temos moedas de ouro → P A c a i x a   I I = 0

E na III temos uma de ouro → P A c a i x a   I I I = 0,5

E a probabilidade de ser escolher qualquer caixa é:

P c a i x a   I = P c a i x a   I I = P c a i x a   I I I = 1 / 3

Passo 5

Agora só substituir na fórmula:

P A = 1 × 1 3 + 0 × 1 3 + 0,5 × 1 3

E:

P B A = 1 3 1 × 1 3 + 0 × 1 3 + 0,5 × 1 3 = 2 3

Que era exatamente o que a gente queria.

Resposta

2 3

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